Заметим, что при подсчете НОК мы выкинули именно те числа, которые нужны для вычисления НОД:

Иначе говоря,

Мы можем обобщить этот пример. Для любых двух целых положительных чисел a и b

Таким образом,

Так как алгоритм Евклида позволяет эффективно вычислить наибольший общий делитель двух чисел, он также годится – с учетом тождества (D) – для эффективного вычисления наименьшего общего кратного.

Треугольник – геометрическая фигура, состоящая из трех прямых отрезков, соединяющих три точки. В главе 13 мы рассмотрим общеизвестные свойства этих незамысловатых фигур и приподнимем покров над их тайнами. А начнем мы с двух всем знакомых формул: суммы углов и площади треугольника.

В сумме все это дает 180°

Возможно, самый известный факт, касающийся треугольников, – то обстоятельство, что если мы измерим все три угла и сложим эти величины, то получим 180°.

Почему мы так уверены? Нет, не стоит вырезать из бумаги тысячи треугольников и вымерять их углы транспортиром! Есть путь попроще.

Возьмем треугольник – любой треугольник – и обозначим его вершины буквами A, B, C, а величину углов соответственно x, y, z. Нам нужно убедиться, что x + y + z = 180°.

Нарисуйте (все равно, на бумаге или в воображении) прямую L, проходящую через точку B и параллельную AC:

Продолжите отрезки AB и BC таким образом, чтобы они пересекали прямую L. В результате появятся три новых угла.

Обратите внимание, что они образуют развернутый угол и в сумме дают 180°.

На чертеже мы обозначили новые углы x, y, z, так как они в точности равны углам треугольника. Почему это происходит?

Когда две параллельные прямые пересекают третью, образуются два соответственных угла, которые равны друг другу. Кроме того, при пересечении двух прямых образуются два вертикальных угла, которые тоже равны друг другу. Это изображено на чертеже.

Взгляните на три новых угла x, y, z. Поскольку AC и L параллельны, прямая AB отсекает два равных соответственных угла – оба по x градусов. Точно так же прямая BC отсекает еще два равных соответственных угла – оба по z градусов. И, наконец, прямые AB и BC пересекаются в точке B и образуют два вертикальных угла – оба по y градусов.

Суммируем всё, что мы выяснили:

• Три новых угла охватывают ровно одну сторону линии L, поэтому их сумма – 180°.

• Три новых угла имеют ту же величину, что и три угла треугольника.

Поэтому мы заключаем, что x + y + z = 180°, как и было обещано.

Площадь

Бессчетное число школьников зазубривает: «Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту». Напомню: основание – одна из сторон, а высота – кратчайшее расстояние от этой стороны до противолежащей вершины.

Если длина основания равна b, а высота – h, площадь треугольника можно вычислить по формуле:

Общеизвестный факт! Но почему это так? Вот замечательное объяснение, и оно гораздо интереснее, чем формула[142].

Скопируем наш треугольник, поставим с ног на голову и прикрепим два треугольника друг к другу, чтобы получить параллелограмм:

Его площадь будет вдвое больше площади нашего треугольника.

Теперь превратим параллелограмм в равный по площади прямоугольник: отрежем треугольник (он обозначен пунктирной линией) с одной стороны и прикрепим его с другой:

Получится прямоугольник со сторонами b и h, его площадь равна b × h. Таким образом, площадь нашего треугольника равна

Если у нас есть материальный треугольник (скажем, деревянный), несложно измерить его стороны линейкой. Но измерить высоту не так-то просто. Мы прикладываем к вершине линейку, но должны быть уверены, что она перпендикулярна противоположной стороне.

Можно ли вычислить площадь треугольника, если мы знаем длины его сторон? Потребует ли это геркулесовых усилий? Здесь нам поможет герой по имени Герон – Герон Александрийский, живший около двух тысяч лет назад.

Обозначим длины сторон треугольника буквами a, b и c, как показано на рисунке.