Теорема Пика для четырехугольников

Нарисуем четырехугольник с целочисленными вершинами на клетчатой бумаге и проведите диагональ. Таким образом, мы получаем два треугольника с общей стороной:

Мы можем посчитать площади двух треугольников, пользуясь теоремой Пика, а затем сложить получившиеся величины. Обозначим эти два треугольника L и R и получим:

Таким образом, площадь четырехугольника равна 16 + 36 = 52.

Но, ко всеобщему восхищению, теорема Пика верна также для четырехугольников! И вот почему.

Вместо нового пересчета точек давайте воспользуемся результатами, уже полученными ранее.

Внутри левого треугольника 13 точек, внутри правого – 31 точка. Обратите внимание, что три точки на диагонали тоже лежат внутри четырехугольника; включим их в наши расчеты. Это дает IQ= 31 + 13 + 3 = 47.

Что касается границ четырехугольника, мы видим 8 точек на границе левого треугольника и еще 12 – на границе правого, то есть в общей сложности 20 точек. Но тут мы немного перебрали. Три точки на диагонали четырехугольника включать не надо; кроме того, мы посчитали их дважды. Таким образом, нужно вычесть 6. Две точки на концах диагонали тоже посчитаны дважды, потому вычтем еще 2, чтобы компенсировать перебор. Это дает BQ= 20–6–2 = 12.

Последний рывок:

Невероятно! Это правильный ответ! Как такое возможно?

Площади двух треугольников, L и R, дают в сумме:

Это не что иное, как площадь четырехугольника. Перегруппируем слагаемые:

Величина IL + IR не включает некоторые точки внутри четырехугольника, а величина BL + BR оказывается слишком большой из-за точек на границах. Точки на диагонали четырехугольника мы неосмотрительно посчитали дважды, хотя на самом деле они принадлежат величине IQ (и деление пополам исправляет эту оплошность). Конечные точки диагонали тоже оказались посчитаны дважды, когда мы вычисляли точки на границах. Деление на 2 исправляет эту оплошность лишь наполовину, но вычитание 2 (а не 1) ставит все на свои места!

Вы не поверите, но теорема Пика работает для любого многоугольника с целочисленными вершинами.

Центры треугольника вне треугольника

Если треугольник тупоугольный (то есть один из его углов больше 90°), центр описанной окружности и ортоцентр лежат вне треугольника. На рисунке приведен пример окружности, описанной около тупоугольного треугольника.

Найти ортоцентр тупоугольного треугольника несколько сложнее. Фокус состоит в том, чтобы продолжить его стороны, пока они не пересекутся с соответствующими высотами.

В треугольнике ABC мы делаем следующие дополнительные построения: (1) проводим через точку A прямую, перпендикулярную BC (эту сторону необходимо продолжить); (2) проводим через точку B прямую, перпендикулярную AC; (3) проводим через точку С прямую, перпендикулярную AB (ее также необходимо продолжить). Точка пересечения этих прямых X и есть ортоцентр.