или соотношение, если его нужно отыскивать прямо, можно найти путем умножения, а если его нужно отыскивать косвенно, то путем деления.

Для лучшего уразумения этих двух пунктов нужно понять, что единица, о которой мы уже говорили, является здесь принципом, или основой, всех отношений и что в ряде последовательно пропорциональных величин она занимает первую ступень, данные величины – вторую, искомые – третью, четвертую и все остальные, если отношение оказывается прямым; если же оно косвенное, то искомая величина занимает вторую ступень и другие промежуточные, а данная величина – последнюю.

Ибо когда говорится, что единица относится к а или к данному числу 5 так же, как b или данное число 7 относится к искомому ab или 35, то а и b в этом случае находятся на второй ступени, произведение же их ab – на третьей. То же самое, когда добавляют: единица относится к с или 9 так же, как ab или 35 относятся к искомому abc или 315, в этом случае abc находятся на четвертой ступени, будучи произведением двойного умножения ab на с, величин, находящихся на второй ступени, и т. д. Подобно этому: как единица относится к а <или> 5, так же и а <или> 5 относится к а2 или 25; или еще: как единица относится к а <или> 5, так же и а2 <или> 25 относится к а3 <или> 125; или, наконец: как единица относится к а или 5, так же и а3 или 125 относится к а4, т. е. к 625, и т. д. Конечно, действие умножения производится одинаково, умножается ли величина на самое себя или на какую-нибудь совсем другую величину.

В случае же, если говорится: как единица относится к а или 5 к данному делителю, так же В или 7, искомое число, относится к ab или 35, данному делимому, то здесь порядок смешанный и непрямой, вследствие чего искомое В не может быть найдено иначе, как путем деления данного ab на а – тоже данное. То же самое, когда говорится: как единица относится к А или искомому числу 5, так же и А или 5 искомое относится к а2 или 25 данному. Или еще: как единица относится к А <или> 5 искомому, так же и А2 или 25 искомое относится к а3 или 125 данному и т. д. Мы объединяем все эти действия под названием деления, хотя и нужно заметить, что два последних вида заключают в себе больше трудностей, чем первые, потому что в них искомая величина встречается чаще и, следовательно, имеет больше отношений. Смысл этих примеров тот же самый, как если бы говорилось, что нужно извлечь квадратный корень из а2 (или) 25 или кубичный из а3 или 125 и т. д. Такой способ выражения, употребительный среди счетчиков, является равнозначным – пользуясь также термином геометров – выражением, обозначающим действие отыскания средней пропорциональной между наперед взятой величиной, называемой нами единицей, и той, которая обозначается а2, или двух среднепропорциональных между единицей и а3 и т. д.

Отсюда нетрудно сделать вывод, почему эти два действия удовлетворяют в отыскании любых величин, которые должны выводиться из других величин по тому или иному отношению. Уразумев это, нам остается объяснить, как эти действия должны быть представлены рассмотрению воображения и как их нужно сделать наглядными, для того чтобы затем объяснить их употребление или обращение с ними.

Если нам нужно произвести сложение или вычитание, то мы будем представлять предмет в виде линии или величины, обладающей протяжением, в которой нужно рассматривать только длину, так как если нужно прибавить линию а к линии b, то мы соединим их друг с другом таким образом: аb

и получим сумму c.

Если же, наоборот, нужно вычесть меньшую величину из большей, т. е.

 b из а,

то мы наложим их одну на другую таким образом:

,

и получим часть большей, которая не может быть прикрыта меньшей, а именно: .

В умножении мы будем представлять данные величины тоже в виде линий, но вообразим, что они составляют прямоугольник. Если мы умножаем а на b, то поставим их в виде прямого угла

и получим прямоугольник

С другой стороны, если мы хотим умножить аb на с ,

то аb нужно представлять в виде такой же линии аb

и мы получим для аbс:

Наконец, при делении, где дан делитель, мы будем воображать делимую величину в виде прямоугольника, одна сторона которого делитель, а другая – частное. Так, например, если прямоугольник аb требуется разделить на а,

то нужно стереть на нем ширину а, и в качестве частного останется b

Или, наоборот, если тот же прямоугольник требуется разделить на b, то нужно убрать высоту b и получится частное а:

Что касается таких делений, в которых делитель не дан, а только обозначен некоторым отношением, как, например, когда говорят, что нужно извлечь квадратный корень или кубический корень и т. д., то заметим, что в этих случаях делитель и все остальные члены нужно представлять как линии в ряде последовательных пропорций, из которых первой является единица и последней – делимая величина. Как нужно отыскивать все средние пропорциональные величины между делимым и единицей, будет показано в своем месте. Достаточно уже заметить, что мы еще не считаем