Возможно, в будущем нас неизбежно ждут открытия, исследования, теоремы, созданные на основе этой нестандартной теории. А может быть, наоборот, у нее нет потенциала, чтобы стать доминирующей моделью, и бесконечно малые величины никогда не сравнятся по значимости со своими прославленными предшественниками – отрицательными и мнимыми числами. Нестандартный анализ, безусловно, интересен, но, возможно, несет в себе слишком мало пользы, чтобы продолжительное время поддерживать энтузиазм. Прошло всего несколько десятилетий с момента разработки Робинсоном своей модели, и математикам будущего еще предстоит решить ее судьбу.

Среди наиболее успешных разработок исчисления бесконечно малых величин можно выделить теорию меры, разработанную в начале XX в. французским математиком Анри Леоном Лебегом – одно из самых любопытных направлений. Возникает вопрос: можно ли с использованием бесконечно малых величин создать новые геометрические фигуры, которые нельзя нарисовать с помощью циркуля и линейки. Ответ: да, и эти новые фигуры будут созданы в течение нескольких лет в соответствии с законами классической геометрии. Возьмем, например, отрезок, размеченный от 0 до 10.

По аналогии с Декартовой системой координат, эта разметка позволяет соотнести точку на отрезке с любым числом от 0 до 10. На этом отрезке можно отдельно выделить точки, имеющие конечное десятичное значение (например, 0,1 или 7,28), и числа с бесконечным числом цифр после запятой (например, число π или число золотого сечения φ). Что произойдет, если мы разделим отрезок по этому принципу? Другими словами, если мы выделим темным цветом точки первой категории и светлым цветом – второй, как будут выглядеть темная и светлая геометрические фигуры соответственно?

Не так просто ответить на этот вопрос, потому что эти две категории чисел можно продолжать до бесконечности. Если взять даже самый малый диапазон чисел, то он всегда будет содержать как темные, так и светлые точки. Между двумя светлыми точками всегда есть по крайней мере одна темная, а между двумя темными точками всегда есть по крайней мере одна светлая. Две фигуры, таким образом, напоминают бесконечно тонкие нити, которые идеально связаны друг с другом.

Отрезок от 0 от 10 делится на две части: слева – имеющие конечное десятичное значение; справа – числа с бесконечным числом цифр после запятой

Представленное выше изображение, конечно же, неправильное. Это всего лишь грубая визуализация, и элементы, нарисованные очень мелко, на самом деле не бесконечно малы.

Невозможно точно изобразить фигуры, которые могут быть описаны только с помощью алгебры или рассуждений.

В связи с этим возникает вопрос: как измерить эти фигуры? Так, начальный отрезок имеет длину, равную 10. Должны ли две образующие его фигуры иметь одинаковую длину? Станет ли каждая из них иметь длину 5, или одна окажется больше другой? Ответ, который будет найден математиками, поистине удивителен.

Абсолютно вся длина занята фигурой, составленной из чисел с бесконечным количеством знаков после запятой. Фигура, состоящая из светлых точек, будет равна в совокупности 10, а фигура, состоящая из темных точек – 0. Хотя обе фигуры кажутся одинаковым образом переплетенными между собой, на выбранном отрезке бесконечно больше светлых точек, чем темных!

Используя систему координат Декарта, эти рассеянные фигуры могут быть представлены в двух– или трехмерном пространстве. Например, мы можем представить совокупность точек в виде квадрата, координаты которого имеют бесконечное количество значений.

Еще раз обратим внимание, что это всего лишь грубое упрощение, которое дает только смутное представление о том, как может выглядеть бесконечное множество элементов.

Измерение рассеянных элементов приведет к одному из самых удивительных математических результатов: несмотря на все усилия математиков, занимающихся решением этой проблемы, некоторые из этих фигур будет невозможно измерить.

Эта их особенность доказана в 1924 г. Стефаном Банахом и Альфредом Тарским, который обнаружил контрпример принципа мозаики.

Они нашли способ разделить шар на пять частей таким образом, чтобы потом можно было собрать из них два абсолютно таких же шара как первый без единого промежутка!

Пять полученных фигур представляют собой рассеянные фигуры с бесконечно малыми составляющими. Если бы полученные мозаичные части из примера Банаха – Тарского были измеримы, то сумма их объемов была бы одновременно равна как объему шара, из которого они были получены, так и объемам двух шаров, которые могут быть сформированы из них. Этот факт позволяет сделать следующий вывод: даже понятие объема теряет смысл в отношении подобных фигур.

На самом деле выводы Банаха и Тарского гораздо обширнее, так как они показывают, что если рассмотреть две классические геометрические фигуры в трех измерениях, то, разбив первую фигуру на определенное количество рассеянных частей, можно будет собрать аналогичную ей вторую фигуру. Можно, например, разделить на множество частей шар размером с горошину и собрать из них совокупность шаров размером с Солнце без единого промежутка! Описанное явление часто ошибочно называют парадоксом Банаха – Тарского из-за его кажущейся на первый взгляд нелогичности. Однако это не парадокс, а теорема, существование которой возможно благодаря свойствам рассеянных фигур, обеспечивающим логичность рассуждений и отсутствие противоречий!

Разумеется, разделение на бесконечное количество бесконечно малых частей на практике недостижимо. Рассеянные фигуры сегодня остаются в числе необычных математических явлений, не используемых на практике. Кто знает, наступит ли тот день, когда они начнут применяться для решения определенных задач?

Марсель, 8 июня 2012 г.

Этим утром я встал на рассвете. Немного нервничая, но сгорая от нетерпения, я быстро позавтракал, надел свою лучшую рубашку[19] и отправился в путь. Снаружи солнце ярко светило в небе над Провансом, и прохлада ночи быстро уходила. День обещает быть жарким. В Старом порту начинает работать рыбный рынок, и несколько туристов уже прогуливаются по Ла-Канебьер.