Теорема, о которой идет речь, есть главный шаг, необходимый для доказательства единственности разложения на простые множители. Эйзенштейн говорил не только о числах, нужных Ламе, но и об аналогичных числах, возникающих при решении других уравнений. Они называются алгебраическими числами. Алгебраическое число — это комплексное число, удовлетворяющее полиномиальному уравнению с рациональными коэффициентами. Алгебраическое целое число — это комплексное число, удовлетворяющее полиномиальному уравнению с целыми коэффициентами, если коэффициент при наибольшей степени x равен 1. Для каждого такого полинома мы получаем связанное с ним поле алгебраических чисел (это означает, что можно складывать, вычитать, умножать и делить такие числа, получая при этом числа того же рода) и соответствующее кольцо (что означает то же самое, за исключением деления) алгебраических целых чисел. Это основные объекты изучения алгебраической теории чисел.

Если, к примеру, взять многочлен x² − 2, то у него есть корень. Поле включает в себя все числа a + b, где a, b — рациональные числа; кольцо целых чисел состоит из чисел такого же вида, где a, b — целые. Здесь опять же простые делители могут быть определены, и притом единственным образом. Но есть и сюрпризы: у многочлена x² + x − 1 есть корень (√5 − 1)/2, так что, несмотря на дробь, это алгебраическое целое число.

В алгебраической теории чисел сложность заключается не в том, чтобы найти множители. К примеру, круговое число является делителем другого кругового числа, если второе число можно получить умножением первого на еще какое-нибудь круговое число. Определить простые числа также не сложно: круговое целое число является простым, если у него нет других делителей, кроме тривиальных единиц, которые представляют собой круговые числа — делители 1. Нет проблемы и в разложении кругового числа или любого другого алгебраического числа на простые множители. Нужно просто делить число, пока не закончатся делители. Существует простой способ доказать, что эта процедура конечна, и когда она завершится, каждый делитель окажется простым. Так в чем же проблема? В единственности. Если вы повторите процедуру, выбирая по пути иные решения, вы вполне можете получить другой набор простых делителей.

На первый взгляд, трудно представить себе такую возможность. Простые делители — наименьшие возможные кусочки, на которые можно разбить число. Это как взять собранную из «Лего» игрушку и разобрать на кирпичики. Если бы существовал другой способ сделать это, то, в конце концов, оказалось бы, что мы разделили один из кирпичиков еще на несколько деталей. Но тогда кирпичик не был бы кирпичиком. К несчастью, аналогия с «Лего» обманчива. Алгебраические числа ведут себя не так. Они больше похожи на кирпичики с мобильными связями, способные соединяться между собой в разных сочетаниях. Разбейте кирпичик одним способом — получите одни составные части, которые сцепляются друг с другом и дальше уже не делятся. Разбейте его иначе — и получите еще один набор с теми же свойствами, но уже других деталей.

Я приведу два примера. В первом будут только обычные целые числа. Он несложен для понимания, но обладает некоторыми нерепрезентативными чертами. А затем я покажу вам настоящий пример.

Представьте, что мы живем во Вселенной, где существуют только числа 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25 и т. д. — числа, которые в нашей нынешней Вселенной имели бы вид 4k + 1. Если перемножить два таких числа, получится еще одно число такого же вида. Определим такое число как «простое», если оно не является произведением двух меньших чисел того же вида. К примеру, число 25 — не простое, поскольку равняется 5 × 5, а 5 тоже есть в нашем списке. Но число 21 — простое в этом новом смысле, потому что его обычных делителей (3 и 7) в списке нет. Они имеют вид 4k + 3, а не 4k + 1. Несложно убедиться, что любое число заданного вида есть произведение простых (в новом смысле) чисел. Причина в том, что множители, если они существуют, должны становиться меньше, и со временем процесс факторизации непременно остановится. Когда это произойдет, полученные множители будут простыми.

Однако такое разложение на простые множители не единственно. Рассмотрим число 4389. 4389 = 4 × 1097 + 1, т. е. это число интересующего нас вида. Вот три различных разложения на множители заданного вида:

Я утверждаю, что, согласно принятому нами определению, все эти множители простые. К примеру, 57 — простое число, так как его обычные делители 3 и 19 не относятся к требуемому виду. То же можно сказать о числах 21, 33, 77, 133 и 209. Теперь мы можем объяснить неединственность разложения на простые множители. В обычных целых числах

и все эти числа «не того» вида, они нам не подходят и имеют вид 4k + 3. Три различных разложения на простые в этом новом смысле числа возникают при трех разных вариантах группировки этих чисел в пары:

Мы вынуждены брать эти числа парами, так как два числа вида 4k + 3 при перемножении дают число вида 4k + 1.

Этот пример показывает, что аргумент «множители должны быть единственными, поскольку они минимальны», в данном случае не работает. Правда, здесь есть числа и меньше (21 = 3 × 7, к примеру), но эти числа не принадлежат к интересующей нас системе. Главная же причина того, что этот пример не является полностью репрезентативным, заключается в том, что, хотя при умножении числа вида 4k + 1 дают числа того же вида, при сложении этого не происходит. К примеру, 5 + 5 = 10, но 10 — не число нужного нам вида. Поэтому, говоря языком абстрактной алгебры, мы имеем дело не с кольцом.

Второй пример не имеет этого недостатка, но он более сложен. Это кольцо алгебраических целых для многочлена x² − 15. В это кольцо входят все числа a + b√15, где a и b целые. В нем число 10 имеет два варианта разложения:

Можно доказать, что все четыре множителя (2, 5, 5 + √15, 5 — √15) являются простыми{26}.