Сегодня все это выглядит гораздо понятнее, чем в 1847 г., но математикам не потребовалось много времени, чтобы показать обоснованность сомнений Лиувилля. Через две недели после доклада Ванцель проинформировал Академию, что для небольших p единственность разложения соблюдается, но для 23-й степени его метод доказательства уже не годится. Вскоре после этого Лиувилль доложил Академии, что единственность разложения на простые множители не соблюдается для круговых целых чисел, соответствующих p = 23. (Эрнст Куммер открыл этот факт тремя годами раньше, но никому не сказал, поскольку искал способ обойти это препятствие.)

Доказательство Ламе работало для небольших значений p, включая некоторые новые (11, 13, 17, 19), но в общем случае неизбежно рассыпалось. Это был наглядный урок: нельзя принимать правдоподобные математические утверждения на веру, даже если они кажутся очевидными. Может оказаться, что они вообще неверны.

Куммер тоже искал доказательство Великой теоремы Ферма, и мысль его работала примерно в том же направлении, что и у Ламе. Он вовремя заметил потенциальное препятствие и отнесся к нему серьезно: проверил и обнаружил, что оно губит этот подход к доказательству. Он нашел конкретный пример неединственного разложения на простые делители для круговых чисел на основе корней 23-й степени из единицы. Но Куммер был не из тех, кто легко сдается, и ему удалось обойти препятствие или по крайней мере смягчить худшие его следствия. Его идею можно продемонстрировать особенно наглядно на примере все тех же чисел вида 4k + 1. Чтобы сделать разложение по-прежнему единственным, достаточно добавить кое-какие новые числа, не принадлежащие к интересующей нас системе. Для этого примера нам нужны недостающие числа вида 4k + 3. А можно не мелочиться и добавить к тому же четные целые числа; тогда мы получим множество целых чисел, замкнутое относительно сложения и умножения. Иными словами, при сложении или умножении двух целых чисел результат тоже будет целым.

Куммер предложил другой вариант этой же идеи. К примеру, чтобы восстановить единственность разложения на простые множители в кольце чисел a + b√15, достаточно добавить к нему еще одно число, а именно √5. Далее выясняется, что, чтобы получить кольцо, мы должны добавить еще √3. Теперь

и

Таким образом, при разных вариантах группировки четырех чисел √5, √5, √5 + √3, √5 — √3 возникает два варианта факторизации.

Куммер назвал эти новые множители идеальными числами, поскольку в его общих формулировках они вообще не считались числами в полной мере. Они были символами, которые вели себя в значительной степени как числа. Он доказал, что любое круговое целое число может быть единственным образом разложено на простые идеальные числа. Довольно тонкая схема: ни круговые числа, ни идеальные числа сами по себе не имели единственного разложения на простые множители. Но если воспользоваться идеальными числами как ингредиентами разложения для круговых чисел, то результат получался единственно возможным.

Позже Рихард Дедекинд нашел более цивилизованную интерпретацию процедуры Куммера, и ею мы пользуемся до сих пор. Каждому идеальному числу вне интересующего нас кольца он поставил в соответствие некий набор чисел внутри кольца. Этот набор он назвал идеалом. Каждое число в кольце определяет идеал: в него входят все числа, кратные данному. Если разложение на простые множители единственно, таков и каждый идеал. Если разложение не единственно, то возникают дополнительные идеалы. Мы можем определить произведение и сумму идеалов, а также простые идеалы, и Дедекинд доказал, что разложение идеалов на простые множители единственно для всех колец алгебраических целых чисел. Это позволяет предположить, что при решении большинства задач работать следует с идеалами, а не с самими алгебраическими числами. Конечно, здесь не обходится без новых сложностей, но альтернативой такому методу, как правило, является тупик.

Куммер научился работать со своими идеальными числами — по крайней мере научился достаточно хорошо, чтобы доказать вариант Великой теоремы Ферма при некоторых дополнительных предположениях. Но остальным смертным идеальные числа показались сложными и даже слегка загадочными. Однако, если посмотреть с позиции Дедекинда, идеальные числа разумны и полезны, и алгебраическая теория чисел начала свой путь. Из нее, в частности, возникла весьма важная идея о том, как можно измерить степень неединственности разложения в кольце алгебраических целых чисел. Каждому такому кольцу ставится в соответствие целое число, именуемое классом. Если класс равен 1, разложение на простые множители однозначно; в противном случае — нет. Чем выше класс, тем «менее однозначно» (почти в буквальном смысле) разложение на простые множители.

Возможность количественно оценить неоднозначность разложения стала серьезным шагом вперед: при помощи некоторых дополнительных усилий она спасала стратегию Ламе, но лишь в некоторых случаях. В 1850 г. Куммер объявил, что может доказать Великую теорему Ферма для большого числа простых чисел, которые он назвал регулярными. Из всех простых чисел до 100 к ним не относятся только 37, 59 и 67. Для всех остальных простых чисел до этого предела и очень многих после Куммер доказал Великую теорему Ферма. Для определения регулярного простого числа необходимо привлечь понятие класса: простое число регулярно, если оно не является делителем номера класса соответствующего кольца круговых целых чисел. Так что для регулярного простого числа разложение хотя и не является единственным, но это не затрагивает существенным образом интересующее нас простое число.

Куммер утверждал, что существует бесконечно много регулярных простых чисел, но это утверждение до сих пор остается недоказанным. По иронии судьбы, в 1915 г. К. Йенсен доказал, что существует бесконечно много иррегулярных простых чисел. Неожиданный критерий регулярности простых чисел выявился в связи с математическим анализом. В нем задействована последовательность чисел, открытая независимо японским математиком Сэки Такакадзу и швейцарским математиком Якобом Бернулли и известная как числа Бернулли. Этот критерий показывает, что в первый десяток иррегулярных простых чисел входят 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233 и 257. Углубившись в структуру круговых чисел, Дмитрий Мириманов разобрался с первым из иррегулярных простых чисел — 37 — в 1893 г. К 1905 г. он доказал теорему Ферма до степеней p вплоть до 257. Гарри Вандивер разработал компьютерный алгоритм, который позволил расширить этот предел. При помощи этих методов Джон Селфридж и Бари Поллак в 1967 г. доказали теорему вплоть до 25 000-й степени, а С. Вагстафф в 1976 г. повысил этот предел до 100 000.

Свидетельства истинности Великой теоремы Ферма накапливались и накапливались, но главным, пожалуй, было то, что в случае ее ложности контрпример, т. е. пример, наглядно демонстрирующий нарушение теоремы, оказался бы настолько сложным, что никто и никогда не сумел бы его отыскать. Еще из результатов работы ученых следовало, что методы, такие как у Куммера, сталкивались с теми же проблемами, что и работы более ранних исследователей: большие степени требовали особых очень сложных процедур и особого обращения. Так что эта линия атаки постепенно затормозилась и сошла на нет.