К началу XIII века русские могли считать лишь до миллиона, и то не особенно твёрдо и бойко. Так, они писали: 300000 и 60000, и 400, и 40, и 6 рун (т. е. 360 446 рун. – А.Г.); 70000 и 3000, и 700, и 20, и 8 свиней; 30000 и 6000, и 800, и 60 гривен, и 4 гривны (в некоторых списках «Русской правды»).

Особенно затрудняли наших предков дроби. Употребительными дробями на практике были: половина, четверть и треть, пол четверти и полтрети, полполчетверти и полполтрети и, наконец, полполполчетверти и полполполтрети. Всякую другую дробь старались выразить приблизительно путем механического сопоставления перечисленных дробей, так что слово «пол» (четверти или трети) повторялось до 10 раз, обозначая мелкое дробное число. Когда же дроби нужно было складывать или вычитать, тогда дело было уже совсем плохо, так как приведение дробей к одному знаменателю не было известно, а потому приходилось во что бы то ни стало действия над дробями заменять действиями над целыми числами.

Вопросы к учителю

Пока не забылась информация от Каптерева, попробую расписать алгоритм решения задачи в его примере.

Первое, и что кажется понятным, люди Средних веков использовали на первом шаге алгоритма современную систему устного счёта:

409 × 15 = (400 + 9) × (10 + 5) = 400 × 10 + 400 × 5 + 9 × 10 + 9 × 5

Но дальше мозги предков работали совсем необычно для нас, примерно так: = [(400 + 400 + 400 + 400 + 400) + (400 + 400 + 400 + 400 + 400 + 400 + 400 + 400 + 400 + 400)] + [(9 + 9 + 9 + 9 + 9) + (9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9)] = (2000 + 4000) + (45 + 90) = 6 × 1000 + 1 × 100 + 3 × 10 + 5 = 6135 – ух!

Ну не знали ещё тогда способ умножения в столбик, да и десятичная система не была позиционной, так как не была известна ни на Руси, ни где-либо ещё, кроме Индии, ни цифра «ноль», ни шрифт деванагари (как бы арабские цифры)! Записи чисел производились буквами алфавита. Не позавидуешь!

Смотрим далее.

Сигизмунд Герберштейн, 1517, 1526

Сверх того, они (Епископы. – А.Г.) должны определять и устанавливать единицы измерения…

Способ счёта у них таков, что они считают и делят все предметы по сорока и девяносту, так же как мы по сотням. При счёте они последовательно повторяют и умножают таким образом дважды сорок, трижды сорок, четырежды сорок; sorogk – на их языке «сорок»; или дважды, трижды, четырежды девяносто: dewenosto – на их языке «девяносто».

«Тысяча» на их языке – tissutzae, а десять тысяч они называют одним словом – «тьма» (tma), двадцать тысяч – «две тьмы» (dwetma), тридцать тысяч – «три тьмы» (tritma).

Писцовые книги Бежецкой пятины Новгорода, 1554

Дер. Квечки, да в той же деревни выменная обжа: дв. сам Ковердяйко с племянником, дв. лютцкой, пашни в поле 10 коробей, а в дву по тому-ж, сена 40 копен, 4 обжы и с меновною.

Дер. Гамгино: дв. Куземка Офромеев, пашни в поле б коробей, а в дву по тому-ж, сена 30 копен, пол – 2 обжы…

П.Ф. Каптерев, †1922

Облегчение всех вычислений началось с введения арабских цифр. Но арабские цифры медленно входили в жизнь в течение XVII века. Впервые они встречаются в славяно-русских книгах (с 1611 г.), вышедших из западных типографий. В московской типографии употребление арабских цифр началось с 1647 года. Даже в начале XVIII века издавались иногда книги с арабскими и русскими цифрами, одна половина экземпляров с одними, а другая – с другими.

Поэтому понятно, что в старых рукописях арифметика превозносилась как высочайшая мудрость: «без сей численности философии, изобретения финикийского, единой из семи свободных мудростей, нельзя быть ни философом, ни доктором, ни гостем искусным в делах торговых… ея знанием можно снискать великую милость Государеву». Особенно расхвалена арифметика в одной рукописи первой половины XVII века: «Арифметика. Аз есмь от Бога свободная мудрость высокозрительного и остромысленного разума и добродатное придарование человеческое. Мною человек превосходит бессловесное неразумие. Аз бо есмь своими лёгкими крылома парю выспрь под облаки, ещё и несть мя тамо. Аз заочныя, невидимыя и предъочиыя дела объявляю» и т. д.

Геометрия. Под нею наши предки разумели буквально искусство мерить землю. Наука геометрия не была известна. Наши землемеры XVII века при своих работах не употребляли ничего другого, как только одни размеренные верёвки, «мерныя верви», полагаясь на свой глаз во всём, не требующем непосредственного измерения. На глаз определяли они направление прямых линий, также на глаз судили о положении взаимно-перпендикулярных.

Так как земли по качеству делились на три разряда: на добрые, худые и средние, то «вервьщику надобе держати 3 верви верных – одна вервь на добрую землю, а другая на среднюю, а третья на худую». Мерная вервь сверх определенной длины (80 саж.) должна была иметь ещё деления на четверти и трети.

Дело о возмещении расходов П. Гордона на поездку в Британию

(воссоздание в. xlsx-файле)

Дело о возмещении расходов П. Гордона на поездку в Британию, которая была инициирована Алексеем Романовым, тянулось аж 15 (пятнадцать!) лет. Точку поставил дьяк Емельян Игнатьевич Украинцев (1641–1708) – позже думный дьяк, видный дипломат, глава Посольского приказа, – который выплатил генералу долг Московского замка с процентами, тщательно проведя конвертацию валют и учтя «авансовый отчёт» генерала.

П. Н. Милюков, 1896

Начальная математика на Руси и реформы Петра

По самой трудности усвоения – математическия знания принадлежали к числу наименее распространенных в Древней Руси, их приобретали только по необходимости, и сами специалисты владели ими в очень несовершенной степени. Самый способ – изображать цифры буквами, заимствованный из Византии, – мешал русским воспользоваться всеми удобствами десятичной системы счисления. Каждый цифровой знак мог иметь только одно значение, на каком бы месте он ни стоял…

Впрочем, к письменному обозначению крупных чисел совсем и не приходилось прибегать на практике. Ближайшими практическими нуждами определился и состав дальнейших математических знаний. Из четырёх правил арифметики употреблялись на практике преимущественно сложение и вычитание. Умножение и деление плохо давались нашим предкам. Но что давалось им ещё труднее – это дроби.

Единственными употребительными на практике дробями были: половина, четверть и треть, пол-четверти и пол-трети ((2х4)-1 и (2хЗ)-1 – А.Г.), пол-пол-четверти и пол-пол-трети ((2х2х4)-1 и (2х2хЗ)-1) и, наконец, пол-пол-пол-четверти и пол-пол-пол-трети ((2х2х2х4)-1 и (2х2х2хЗ)-1). Всякую другую дробь старались выразить приблизительно, путем механическаго сопоставления перечисленных дробей.

В совершенное смущение приходил древнерусский грамотей, если дроби приходилось складывать или вычитать. Не зная приведения к одному знаменателю, он пускался тут на хитрости: приравнивал наименьшую дробь единице, остальныя выражал кратными числами и, таким образом, ему удавалось действие над дробями заменять действиями над целыми числами.