В предыдущих главах мы уже встречались с примерами функций, Когда мы говорили о хлебе с корицей и изюмом, x было количеством съеденных ломтиков, а y – количеством потребленных калорий. В этом случае взаимосвязь выражалась уравнением y = 200x, что дает на координатной плоскости прямую линию. Еще один пример – изменение продолжительности дня в Нью-Йорке в 2018 году в зависимости от времени года. Там переменная x означала день года, а переменная y – количество минут светового дня, то есть время от восхода до захода солнца. Мы установили, что график в этом случае колеблется, словно синусоида: с самыми длинными днями летом и самыми короткими – зимой.

Функция функций

Некоторые функции настолько важны, что на инженерном калькуляторе для них отведены отдельные кнопки. Среди таких математических знаменитостей – x2, lgx или 10x. Следует признать, что большинству людей они не нужны. Отсчитать сдачу или определить размер чаевых вполне можно и без них. В повседневной жизни арифметики обычно вполне достаточно. Вот почему, когда вы включаете на телефоне приложение «Калькулятор», вам по умолчанию показывают базовый вариант с цифрами от 0 до 9, четырьмя арифметическими операциями – сложением, вычитанием, умножением и делением – и кнопкой для процентов. Этого хватает для ведения дел большинству из нас.

Однако для технических профессий числа – это только начало. Ученым, инженерам, финансовым аналитикам, медицинским исследователям приходится работать с отношениями между числовыми величинами, которые показывают, как одна величина влияет на другую. Для описания подобных взаимосвязей и необходимы функции. Они предоставляют инструменты, которые нужны для моделирования движения и изменения.

Вообще говоря, вещи могут меняться одним из трех способов: увеличиваться, уменьшаться или с ними может происходить и то и другое. Иными словами, они могут расти, снижаться или колебаться. Для разных случаев подходят разные функции. Поскольку на следующих страницах мы встретимся с различными функциями, имеет смысл вспомнить некоторые самые полезные из них.

Степенные функции

Для количественного выражения роста часто используются степенные функции, например x2 или x3, где переменная x возводится в какую-нибудь степень.

Простейшая из таких функций – линейная, когда зависимая переменная y растет прямо пропорционально x. Например, если y – количество калорий, потребленных при съедании 1, 2 или 3 ломтиков хлеба с изюмом и корицей, то y растет в соответствии с уравнением y = 200x, где x – это число ломтиков, а 200 – количество калорий, приходящееся на каждый ломтик. Однако в данном случае отдельная кнопка x на калькуляторе не понадобится; мы просто умножаем 200 на количество ломтиков и получаем количество калорий.

А вот для следующей по иерархии степени роста (квадратичный рост) наличие отдельной кнопки x2 будет весьма полезным. Квадратичный рост интуитивно не так понятен, как линейный. Например, если мы опять изменяем x с 1 до 2 и 3 и задаемся вопросом, как меняются соответствующие значения y = x2, то видим, что они проходят значения 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9. Поэтому значения y прирастают все быстрее: сначала Δy = 4–1 = 3, потом Δy = 9–4 = 5. Если продолжать, будут появляться последующие нечетные числа: 7, 9, 11 и так далее. Таким образом, при квадратичном росте с увеличением x растет не только значение функции, но и само изменение значений. Сам рост растет быстрее.

Мы уже сталкивались с этой любопытной закономерностью в экспериментах Галилея с наклонной плоскостью, в которых он измерял время качения шаров. Он заметил, что, когда шар выходил из состояния покоя, он катился со временем все быстрее и с каждым последующим приращением времени проходил все большее расстояние, причем последовательно пройденные расстояния возрастали пропорционально нечетным числам 1, 3, 5 и так далее. Галилей пришел к выводу, что эта загадочная закономерность означает следующее: общее расстояние, пройденное шаром, пропорционально не времени, а квадрату времени. Таким образом, квадратичная функция x2 возникла при изучении движения весьма естественно.

Показательные функции

В отличие от умеренно растущей степенной функции x или x2, показательная (или экспоненциальная) функция, например 2x или 10x, описывает гораздо более взрывной вид роста, который увеличивается подобно снежному кому и подпитывает сам себя. При экспоненциальном росте на каждом шаге происходит не прибавление постоянной величины, как при линейном росте, а умножение на постоянный коэффициент.

Например, численность популяции бактерий, живущей в чашке Петри, удваивается каждые 20 минут. Если вначале было 1000 бактерий, то через 20 минут их станет 2000. Еще через 20 минут – 4000, а через последующие такие же 20-минутные интервалы – 8000, 16 000, 32 000 и так далее. В этом примере в игру вступает показательная функция 2x. В частности, если мы измеряем время в 20-минутных интервалах, то в чашке после x единиц времени будет 1000 × 2x бактерий. Подобный экспоненциальный рост характерен для многих быстрых процессов – от размножения настоящих вирусов до вирусного распространения информации в социальной сети.

Экспоненциальный рост также имеет отношение к увеличению денежных средств. Представьте себе сумму в 100 долларов, лежащую на банковском счете, при этом годовая ставка составляет 1 процент. Через год на счету будет 100 × 1,01 = 101 доллар. Через два года – 101 × 1,01 = 102,01. Через x лет на счете будет лежать 100 × 1,01x долларов.

У показательных функций вроде 2x или 1,01x числа 2 или 1,01 называются основаниями. Чаще всего используется основание 10. Никаких математических причин выбора именно этого числа не существует. Его распространение обусловлено случайностью биологической эволюции: у нас оказалось 10 пальцев. Соответственно, и десятичная система в нашей арифметике основана на степенях числа 10.

По той же причине показательная функция, с которой начинающие ученые сталкиваются обычно еще в школе, – это 10x. Число x называется показателем экспоненциальной функции. Когда x равно 1, 2, 3 или любому иному целому положительному числу, эта величина указывает, сколько раз число 10 умножается на себя. Однако когда x равен 0, отрицательному или дробному числу, то значение 10x определяется несколько сложнее. Сейчас мы это увидим.

Степени десятки

В науке масса ситуаций, требующих использования степени 10 для облегчения вычислений. В частности, так называемая экспоненциальная запись удобна для очень больших или очень маленьких чисел. Она использует степени 10, чтобы выразить число максимально компактно.