По той же причине экспоненциальный рост имеет отношение к ядерным цепным реакциям. Когда ядро атома урана распадается, испускаются нейтроны, которые потенциально могут сталкиваться с ядрами других атомов и вызвать их расщепление. От этого появятся новые нейтроны и процесс пойдет далее. Если не остановить такое экспоненциальное увеличение количества нейтронов, оно может привести к ядерному взрыву.

Показательными функциями наряду с ростом можно описать и уменьшение. Оно происходит, когда величина уменьшается или потребляется со скоростью, пропорциональной ее текущему уровню. Например, половина атомов в отдельном куске урана распадается всегда за одно время – вне зависимости от того, сколько атомов в куске было изначально. Это время известно как период полураспада. Аналогичное понятие (например, период полувыведения) применимо и к другим областям. В главе 8 мы обсудим, что врачи узнали о СПИДе после того, как обнаружилось, что количество вирусных частиц в крови ВИЧ-инфицированных пациентов экспоненциально (с периодом полувыведения в двое суток) снизилось после ввода чудесного препарата под названием ингибитор протеазы.

Эти разнообразные примеры, от динамики цепных реакций и воя в микрофонах из-за обратной связи до накопления денег на банковских счетах, создают впечатление, что показательные функции и логарифмы прочно укоренились в тех областях анализа, которые имеют дело с изменениями во времени. И действительно, экспоненциальные рост и уменьшение – важные темы на современной стороне перекрестка анализа. Однако логарифмы впервые были обнаружены на другой стороне, еще тогда, когда анализ сосредоточивался на геометрии кривых. На самом деле натуральный логарифм появился давно, при изучении площади под гиперболой y = 1 / x. Дело запуталось в 1640-х годах, когда было установлено, что площадь под гиперболой определяет функцию, которая ведет себя странно, похоже на логарифм (фактически это и был логарифм). Он подчинялся тем же правилам и преобразовывал задачу умножения в задачу сложения, как и другие логарифмы, но его основание оставалось неизвестным.

Предстояло еще многое узнать о площадях под кривыми. Это было одной из двух крупных задач, стоящих перед анализом. Вторая заключалась в создании более систематического метода нахождения касательных и наклонов кривых. Решение этих двух задач и обнаружение удивительной связи между ними вскоре привело анализ и весь мир к современному состоянию.

С точки зрения XXI века анализ часто рассматривается как математика изменений. Он количественно их оценивает с помощью двух важных понятий – производные и интегралы. Производные определяют скорость изменений, они и будут главной темой этой главы, а интегралы – накопление изменений и мы обсудим их в главах 7 и 8.

Производные отвечают на вопросы «Насколько быстро?», «Насколько круто?» или «Насколько чувствительно?». Все эти вопросы касаются скорости изменений в той или иной форме. Скорость изменения – это изменение зависимой переменной, деленное на изменение независимой переменной. Символьно скорость изменения записывается в виде Δy / Δx, то есть изменение y, деленное на изменение x. Иногда используются другие буквы, но структура записи та же. Например, если независимой переменной будет время, то естественнее записать эту величину как Δy / Δt, где t – время.

Наиболее известный пример скорости изменений – обычная скорость движения. Когда мы говорим, что автомобиль движется со скоростью 100 километров в час, эта величина рассматривается как скорость изменений, поскольку определяет скорость движения в виде Δy / Δt, то есть указывает, сколько проехал автомобиль (Δy = 100 километров) за данный промежуток времени (Δt = 1 час).

Аналогично скоростью изменений является и ускорение. Оно определяется как быстрота изменения скорости и обычно записывается в виде Δv / Δt, где v – скорость. Когда американский производитель автомобилей Chevrolet заявляет, что одна из его мощных моделей V-8 Camaro SS может разогнаться от 0 до 60 миль в час за 4 секунды, он указывает ускорение в форме быстроты изменения: изменение скорости (от 0 до 60 миль в час) делится на промежуток времени (4 секунды).

Третий пример скорости изменений – наклон пандуса (наклонного ската). Он определяется как высота пандуса по вертикали Δy, деленная на его горизонтальную протяженность Δx. Чем больше наклон, тем круче скат. Американское законодательство требует, чтобы наклон пандусов для инвалидных колясок не превышал 1/12. Горизонтальная поверхность имеет нулевой наклон.

Из всех существующих различных скоростей изменений важнее и полезнее всего наклон кривой на координатной плоскости, поскольку он может заменить все остальные. В зависимости от того, что обозначают x и y, наклон кривой может указывать скорость движения, ускорение, ставку выплат, обменный курс, прибыль от инвестиций или любой иной вид скорости изменений. Например, когда мы строили график количества калорий y, содержащихся в x ломтиках хлеба с изюмом и корицей, он представлял собой прямую линию с наклоном 200 (калорий на ломтик). Такой наклон – геометрическая характеристика – сообщает нам, с какой скоростью хлеб передает калории, то есть выражает характеристику питательности. Аналогично на графике, показывающем зависимость пройденного автомобилем расстояния от времени, наклон будет указывать скорость машины. Таким образом, наклон – своего рода универсальный показатель скорости изменения. Поскольку любую функцию одной переменной можно изобразить в виде графика на координатной плоскости, мы можем найти скорость ее изменения, найдя наклон ее графика.

Ловушка здесь в том, что скорость изменений в реальном мире или в математике редко бывает постоянной. В этом случае ее определение усложняется. Первый важный вопрос в дифференциальном исчислении – выяснить, что делать, когда скорость изменений не постоянна. Устройства GPS и спидометры решили эту задачу: они всегда знают, какую скорость показать, даже несмотря на то, что автомобиль при этом ускоряется или замедляется. Как они это делают? Какие вычисления производят? С помощью анализа, как мы сейчас увидим.

Так же как скорость движения не должна быть постоянной, так и наклоны не обязаны быть постоянными. Например, кривая вроде окружности или параболы (или любая другая гладкая линия, за исключением идеальной прямой) в одних местах будет круче, чем в других. Так происходит и в реальном мире. На горных тропах есть более крутые участки и более спокойные, плоские. Поэтому остается вопрос: как нам определить наклон, если он может меняться?

Первое, что нужно осознать, – это необходимость расширить наше представление о том, что такое скорость изменений. В алгебраических задачках, где пройденное расстояние равнялось произведению скорости на время, скорость всегда оставалась постоянной. Но в анализе это не так. Поскольку скорость движения, наклон и прочие величины изменяются вместе с изменениями независимой переменной x или t, их нужно рассматривать как функции. Скорости изменения – отныне не просто числа. Они должны стать функциями.