Теория вероятностей естественным образом вступает в игру, когда мы имеем дело с ситуацией 1 (назовем ее так):

1. Когда можно считать, что данные сгенерированы каким-то рандомизирующим устройством, например, при подбрасывании монет, костей или путем случайного распределения пациентов по методам лечения с помощью генератора псевдослучайных чисел с последующей регистрацией результатов лечения.

Однако на практике мы можем столкнуться с ситуацией 2:

2. Когда рандомизирующее устройство выбирает уже существующий элемент данных, скажем, отбирает людей для участия в опросе.

И большую часть времени наши данные появляются из ситуации 3:

3. Когда случайности нет вообще, но мы действуем так, как если бы данные были сгенерированы каким-то случайным процессом, например при интерпретации веса новорожденного ребенка вашей подруги.

В большинстве описаний эти различия четко не разграничиваются: вероятность в целом объясняют с помощью рандомизирующих устройств (ситуация 1), статистике учат с помощью идеи «случайной выборки» (ситуация 2), но на самом деле большинство статистических приложений вообще не задействуют никаких рандомизирующих устройств или случайных выборок (ситуация 3).

Однако сначала рассмотрим ситуации 1 и 2. Непосредственно перед тем, как запустить рандомизирующее устройство, мы предполагаем, что у нас есть набор возможных результатов, которые можно наблюдать, а также их соответствующие вероятности – например, монета может выпасть орлом или решкой с вероятностью каждого исхода 1 / 2. Связав все возможные исходы с вероятностями их появления, мы можем сказать, что у нас есть случайная величина с каким-то вероятностным распределением. В ситуации 1 рандомизирующее устройство гарантирует, что наши наблюдения случайным образом извлекаются из этого распределения, но когда наблюдение сделано, вся случайность пропадает и все потенциально возможные пути развития будущего события сводятся к одному фактическому варианту. Аналогично, в ситуации 2, если мы случайным образом выбираем человека и, например, измеряем его доход, то мы фактически извлекаем случайное наблюдение из распределения доходов в генеральной совокупности.

Таким образом, вероятность явно важна при работе с рандомизирующим устройством. Но большую часть времени мы просто рассматриваем все доступные на какой-то момент измерения, которые могли быть собраны без соблюдения формальностей или (как мы видели в главе 3) даже могут представлять все возможные наблюдения: вспомните об уровне выживаемости после операций на сердце у детей в различных больницах или результатах экзаменов у британских детей – оба включают все имеющиеся данные и никакой случайной выборки здесь просто нет.

В главе 3 мы обсуждали идею метафорической генеральной совокупности, включающей все возможные случайности, которые могли бы произойти, но не произошли. Сейчас нам надо приготовиться к явно иррациональному шагу – действовать так, как будто данные получены каким-то случайным механизмом из общей совокупности, хотя мы прекрасно знаем, что это не так.

Если мы все наблюдаем, то откуда появляется вероятность?

Когда несколько экстремальных событий происходят в тесной последовательности (например, череда крушений самолетов или природных катастроф), появляется естественное подозрение, что между ними существует какая-то связь. В этом случае важно выяснить, насколько необычны такие события, в чем нам и поможет следующий пример.

Чтобы оценить, насколько редок «кластер» из как минимум семи убийств в день, давайте изучим данные за три года (1095 дней) между апрелем 2014-го и мартом 2016-го. За этот период в Англии и Уэльсе было совершено 1545 убийств, то есть в среднем 1545/1095 = 1,41 в день. Ни одного дня с семью и более случаями убийства[166] за это время не наблюдалось, однако было бы весьма наивно полагать, что такое событие невозможно. Если мы сумеем построить разумное вероятностное распределение для количества убийств в день, то сможем ответить на поставленный вопрос.

Но каковы обоснования для построения такого вероятностного распределения? Число убийств, регистрируемых в стране, – это просто факт, тут нет никакой случайной выборки и явного случайного элемента, генерирующего каждое преступление. Просто невообразимо сложный и непредсказуемый мир. Но какова бы ни была наша личная философия по отношению к удачам и неудачам, оказывается, полезно действовать так, словно все эти события были порождены каким-то случайным процессом, основанным на вероятности.

Давайте представим, что в начале каждого дня у нас есть огромная популяция людей, в которой у каждого ее члена есть очень малая вероятность стать жертвой убийства. Такого рода данные можно считать наблюдениями из распределения Пуассона, предложенного французским математиком Симеоном Пуассоном в 1837 году для описания вероятности вынесения неправомерных обвинительных приговоров за год. С тех пор оно использовалось для моделирования всего – от количества голов, забитых футбольной командой в матче, и еженедельного числа выигрышных лотерейных билетов до ежегодного числа прусских офицеров, убитых ударом копыта их лошадей. Во всех этих ситуациях для наступления события есть очень большое число предпосылок, но каждая с ничтожно малым шансом на реализацию, что и приводит к необычайно универсальному распределению Пуассона.

Тогда как нормальное (гауссовское) распределение, описанное в главе 3, требует двух параметров (среднее значение и среднеквадратичное отклонение), у распределения Пуассона только один параметр (он имеет смысл среднего). В нашем конкретном примере это ожидаемое ежедневное число случаев убийства, которое мы принимаем равным 1,41, поскольку таково среднее значение за трехлетний период. Однако нам нужно тщательно проверить, насколько разумно предположение о распределении Пуассона, чтобы мы могли обращаться с количеством убийств так, словно это случайное наблюдение, взятое из пуассоновского распределения с параметром 1,41.

Например, зная это среднее, мы можем использовать формулу для распределения Пуассона или стандартное программное обеспечение, чтобы вычислить, что вероятность совершения пяти убийств в день равна 0,001134. А значит, за 1095 дней можно ожидать 1095 × 0,001134 = 12,4 дней, когда будут наблюдаться ровно пять случаев убийства.

Удивительно, но реальное число дней с пятью убийствами за трехлетний период… 13.

На рис. 8.5 приведено сравнение ожидаемого распределения для ежедневного числа убийств на основании распределения Пуассона и фактического эмпирического распределения для 1095 дней. Соответствие очень хорошее, и в главе 10 я покажу, как формально проверить, оправдано ли предположение о пуассоновском распределении данных.