Статистика используется при наличии эпистемической неопределенности в отношении какой-то величины. Например, мы проводим опрос, когда не знаем истинной доли людей в популяции, считающих себя религиозными, или фармакологическое испытание, когда не знаем истинного среднего эффекта какого-то препарата. Как мы уже говорили, эти фиксированные, но неизвестные величины называются параметрами и часто обозначаются греческими буквами[176]. Как и в примере с подбрасыванием монеты, до проведения экспериментов у нас есть стохастическая неопределенность в отношении их результатов из-за случайного составления выборок или случайного назначения пациентам препарата или плацебо. После проведения исследования и получения данных мы используем эту вероятностную модель, чтобы справиться с текущей эпистемической неопределенностью – точно так же, как вы говорили «50 процентов» о накрытой монете. Таким образом, теория вероятностей, которая говорит нам, чего ожидать в будущем, используется, чтобы сказать, что можно узнать из наших наблюдений в прошлом. Это и есть (довольно примечательная) основа для статистических выводов.

На этой фундаментальной идее построена процедура получения интервала неопределенности вокруг нашей оценки или погрешности, включающая три этапа.

1. Мы используем теорию вероятностей, чтобы для конкретных параметров генеральной совокупности получить интервал, в котором наблюдаемая статистика будет лежать с вероятностью 95 %. На рис. 9.2 такие 95-процентные интервалы прогнозирования изображены в виде внутренней воронки.

2. Затем мы наблюдаем конкретную статистику.

3. И наконец (и это самое трудное) определяем диапазон возможных параметров генеральной совокупности, для которых наша статистика попадает в 95-процентные интервалы прогнозирования. Этот диапазон мы называем «95-процентным доверительным интервалом». Он включает величину 95 %, поскольку при большом числе повторений 95 % таких интервалов будут содержать истинное значение параметра[177].

Все ясно? Если нет, не расстраивайтесь: вы просто присоединились ко многим поколениям озадаченных студентов. Конкретные формулы приведены в глоссарии, но детали не так важны, как сам фундаментальный принцип: доверительный интервал – это тот диапазон параметров генеральной совокупности, при котором наша наблюдаемая статистика будет правдоподобным следствием.

Вычисление доверительных интервалов

Понятие доверительных интервалов было формализовано в 1930-е годы в Университетском колледже Лондона Ежи Нейманом, блестящим польским математиком и статистиком, и Эгоном Пирсоном, сыном Карла Пирсона[178]. До этого работа по определению необходимых вероятностных распределений для коэффициентов корреляции и коэффициентов регрессии велась десятилетиями; математические детали таких распределений входят в стандартные академические курсы статистики. К счастью, результаты всех этих трудов теперь содержатся в статистическом программном обеспечении, так что практики могут сосредоточиться на важных вопросах и не отвлекаться на сложные формулы.

В главе 7 мы узнали, как с помощью бутстрэппинга получить 95-процентные интервалы для углового коэффициента регрессионной прямой, связывающей рост матерей и дочерей. Гораздо проще получить точные интервалы, основанные на теории вероятностей и включенные в стандартные программы. Табл. 9.1 показывает, что они дают весьма сходные результаты. «Точные» интервалы, основанные на теории вероятностей, требуют больше предположений, чем метод бутстрэппинга, и, строго говоря, будут точными только в случае нормального распределения. Но центральная предельная теорема говорит, что при настолько большом объеме выборки разумно считать, что наши оценки имеют нормальное распределение, поэтому такие интервалы приемлемы.

Таблица 9.1

Оценки коэффициента регрессионной прямой, демонстрирующей связь между ростом дочерей и матерей. Стандартные ошибки и 95-процентные интервалы точные и для бутстрэппинга, основанного на 1000 перевыборок

Традиционно используются 95-процентные интервалы, которые обычно отклоняются от среднего на две стандартные ошибки в обе стороны[179]; однако иногда интервалы берутся уже (например, 80 %) или шире (99 %). Статистическое управление США использует для определения уровня безработицы 90-процентные интервалы, в то время как Национальное статистическое управление Великобритании – 95 %. Важно уточнять, какой именно интервал используется.

Погрешности опросов

Когда какое-то заявление базируется на опросе (например, опросе общественного мнения), стандартная практика – указать статистическую погрешность. У статистики безработицы, приведенной в главе 7, на удивление большая погрешность (оценка в 3000 имеет погрешность ±77 000). Это значительно влияет на интерпретацию исходного числа – в нашем случае такая погрешность показывает, что мы даже не знаем, выросла безработица или сократилась.

Существует простое эмпирическое правило: если вы оцениваете процент людей, предпочитающих, скажем, на завтрак чай, а не кофе, и рассматриваете случайную выборку из генеральной совокупности, то ваша погрешность (в процентах) будет максимум плюс-минус 100, деленное на квадратный корень из размера выборки[180]. Поэтому при выборке в 1000 человек (стандартный объем в таких опросах) погрешность обычно указывается как ±3 %[181]. Если 400 человек предпочитают кофе, а 600 – чай, то вы можете примерно оценить реальную долю любителей утреннего кофе в популяции следующим образом: 40 ±3 %, то есть от 37 до 43 %.