Родился: Брезеленц, Королевство Ганновер, 17 сентября 1826 г. Умер: Селаска, Италия, 20 июля 1866 г.

Бернхард Риман впервые проявил мощный математический талант, техническое мастерство и оригинальность в возрасте 20 лет. Мориц Штерн, один из его наставников, позже сказал, что «он уже тогда пел, как канарейка». Другой его наставник, Гаусс, впечатлился не так сильно, но и курсы, которые он вел, были элементарными и не давали студенту возможности проявить свои подлинные способности. Вскоре даже Гаусс понял, что Риман необычайно талантлив, и согласился консультировать его по докторской диссертации. Тема диссертации – комплексный анализ – была близка сердцу Гаусса. Он с похвалой отозвался о работе как о «великолепной, плодотворной, оригинальной» и организовал для Римана место преподавателя начального уровня в Гёттингенском университете.

В Германии следующим шагом после защиты степени доктора философии являлась так называемая хабилитация – получение более высокой ученой степени, требующее глубоких исследований; она открывала путь к настоящей академической карьере, давая обладателю право стать приват-доцентом, то есть читать лекции и получать жалованье. Риман провел два с половиной года за весьма плодотворными исследованиями теории рядов Фурье (глава 9). Исследование было проведено качественно, но сам он начал подозревать, что взвалил на себя непосильную ношу.

Проблема не была связана с работой над рядами Фурье. Эта работа была сделана, и Риман был уверен в ее качестве и точности. Нет, проблему представлял последний шаг получения степени доктора хабилис. Кандидат должен был прочесть публичную лекцию. В свое время он предложил три темы: две по математической физике электричества – предмет, который он тоже изучал под руководством Вильгельма Вебера, а в третьей Риман замахнулся на основания геометрии, где у него были кое-какие интересные, но незаконченные идеи. Выбрать из этих трех тем должен был Гаусс, который в то время работал с Вебером и глубоко интересовался электричеством. Однако Риман упустил из виду, что Гаусс столь же глубоко интересовался и геометрией и не прочь был услышать то, что Риман думает по этому поводу.

Так что теперь Риман из кожи вон лез, пытаясь развить свои достаточно неопределенные идеи относительно геометрии в нечто, что могло бы произвести настоящее впечатление на величайшего математика своего времени, причем в области, о которой этот великий человек размышлял значительную часть своей жизни. Начальной точкой размышлений Римана был результат, которым Гаусс особенно гордился, – его Theorema Egregium (см. главу 10). Эта теорема определяет форму поверхности без отсылки к какому бы то ни было окружающему пространству, и ее появление ознаменовало рождение дифференциальной геометрии. Она подвела Гаусса к изучению геодезических кривых, кратчайших путей между точками – и кривизны, количественно отражающей, насколько та или иная поверхность искривлена в сравнении с обычной Евклидовой плоскостью.

Риман планировал обобщить всю теорию Гаусса в радикально новом направлении – для пространств произвольной размерности. Математики и физики тогда только начинали осознавать мощь и ясность геометрической мысли в «пространствах» с бо́льшим числом измерений, чем обычные два или три. В основании этой альтернативной точки зрения лежало нечто понятное – математика уравнений со многими переменными. Переменные играют роль координат, так что чем больше переменных, тем выше размерность этого понятийного пространства.

Попытки разработать новые представления о многомерных пространствах привели Римана на грань нервного срыва. Ситуацию осложняло еще и то, что одновременно он помогал Веберу разбираться с электричеством. К счастью, взаимовлияние электрических и магнитных сил привело Римана к новой концепции «силы», основанной на геометрии: то же самое озарение несколько десятилетий спустя привело Эйнштейна к специальной теории относительности. Силы можно заменить кривизной пространства. Вот он – новый взгляд, необходимый Риману для подготовки лекции.

В лихорадочной спешке молодой человек перебирал фундаментальные положения современной дифференциальной геометрии, начиная с концепции многомерного многообразия и понятия расстояния, определяемого метрикой. Это формула расстояния между любыми двумя точками, расположенными очень близко друг к другу. Он определил более сложные величины, известные сегодня как тензоры, привел общую формулу для кривизны, представленной как особый вид тензора, и записал дифференциальные уравнения, определяющие кратчайшее расстояние между точками. Кроме того, он пошел еще дальше, черпая, вероятно, вдохновение из общения с Вебером, и порассуждал о возможных взаимосвязях дифференциальной геометрии с физическим миром.

Лекцию Римана ждал триумф, хотя Гаусс был единственным из присутствующих, кто, пожалуй, мог до конца понять сказанное. Оригинальность Римана произвела на Гаусса большое впечатление, и он сказал Веберу, что удивлен глубиной исследования. Рискованный выбор темы, сделанный под влиянием момента, оправдался в полной мере.

В дальнейшем озарения Римана развили Эудженио Бельтрами, Элвин Бруно Кристоффель и итальянская школа под руководством Грегорио Риччи и Туллио Леви-Чивита. Позже их работа очень пригодилась Эйнштейну при создании общей теории относительности. Если Эйнштейна интересовали очень большие пространства, то взгляд Римана в физике был сосредоточен на очень маленьком. Однако и то и другое восходит к Римановой лекции.

* * *

Семья Римана была бедной. Его отец Фридрих – лютеранский пастор и ветеран Наполеоновских войн; мать Шарлотта (урожденная Эбелль) умерла, когда Риман был еще ребенком. Кроме Бернхарда в семье были еще сын и четверо дочерей. До 10 лет мальчика обучал отец, а в 1840 г., когда Риман начал посещать местную школу в Ганновере, он поступил сразу в третий класс. Бернхард был очень стеснителен, но его математическая одаренность сразу бросалась в глаза. Директор школы разрешил Риману читать книги по математике из его личного собрания. Получив от него 900-страничный том Лежандра по теории чисел, Риман проглотил книгу за неделю.

В 1846 г. молодой человек отправился в Гёттингенский университет, где поначалу планировал изучать теологию. Гаусс, однако, распознал в нем математический талант и посоветовал сменить специализацию; Риман (с одобрения родителей) так и поступил. Со временем Гёттинген стал одним из лучших мест в мире для изучения математики, но в те дни, несмотря на присутствие Гаусса, математику там преподавали совершенно обыкновенно. Так что Риман перебрался в Берлин, где работал под руководством геометра Якоба Штайнера, алгебраиста и специалиста по теории чисел Дирихле и специалиста по теории чисел и комплексному анализу Готтхольда Эйзенштейна. Он изучал комплексный анализ и эллиптические функции.