Два разных пути P и Q от –1 до 1 на комплексной плоскости

Использование комплексного анализа, судя по всему, стало осознанным выбором математического сообщества: это обобщение столь явное и убедительное, что любой математик, наделенный здравым смыслом, захотел бы увидеть, к чему это приведет. В 1811 г. Гаусс пишет письмо своему другу астроному Фридриху Бесселю, излагая свой подход к комплексным числам как к точкам на плоскости. Также он упоминает о некоторых глубинных результатах. Среди них – базовая теорема, заложившая фундамент комплексного анализа в целом. Сегодня она известна нам как интегральная теорема Коши, хотя Гаусс сформулировал ее гораздо раньше в своих неопубликованных работах.

Эта теорема касается определенных интегралов от комплексных функций, т. е. выражения:

где a и b – комплексные числа. В вещественном анализе это выражение можно оценить, найдя первообразную F(z) для f(z), т. е. такую функцию F(z), чтобы ее производная dF(z)/dz = f(z). Тогда определенный интеграл равен F(b) – F(a). В данном случае его величина зависит только от конечных точек a и b, а не от того, как вы движетесь от одной к другой.

В комплексном анализе, по словам Гаусса, всё иначе. Здесь величина интеграла может зависеть от пути, по которому переменная z движется от точки a к точке b. Поскольку комплексные числа формируют плоскость, их геометрия гораздо богаче, чем у вещественной прямой, и здесь очень важны дополнительные характеристики.

Например, представим, что вы интегрируете f(z) = 1/z от a = –1 до b = 1. Если упомянутый путь представляет собой полуокружность P, расположенную выше вещественной оси, то интеграл получается равным –πi. Но если путь представляет собой полуокружность Q, расположенную ниже вещественной оси, интеграл будет равен πi. Это две разные величины, и разница между ними равна 2πi.

По мнению Гаусса, разница появляется, потому что функция 1/z ведет себя плохо. Она делается бесконечной в зоне, ограниченной двумя путями, а именно в точке z = 0, которая является центром окружности, образованной двумя путями. «Я утверждаю теперь, что интеграл ‹…› сохраняет одно и то же значение, если внутри части плоскости, заключенной между двумя путями, представляющими переход, функция нигде не равна бесконечности. Это прекрасная теорема, и доказательство к ней я при случае предоставлю». Однако последнего Гаусс так и не сделал.

Теорема была вновь открыта другим ученым, Огюстеном Луи Коши, подлинным основателем комплексного анализа. Да, Гаусс высказал много блестящих идей, но они бесполезны, пока лежат под спудом. Коши опубликовал свою работу. Он постоянно публиковал что-то новое. Говорят, что журнал Comptes Rendus de l’Academie Française принял негласное правило (действующее по сей день) не принимать статьи длиннее четырех печатных страниц как раз ради того, чтобы не позволить Коши заполонить все страницы. Но даже это не обескуражило ученого: он стал писать больше коротких статей. Основные принципы комплексного анализа с удивительной скоростью вылетали из-под его неутомимого пера. И он оказался гораздо более простой, изящной и во многом более полной теорией, чем вещественный анализ.

Например, в вещественном анализе функция может быть дифференцируемой, а ее производная – нет. Она может быть дифференцируемой 23 раза, а на 24-й – нет. Она может быть дифференцируема столько раз, сколько вам угодно, но не может быть представлена степенным рядом. Ни одна из этих неприятностей не грозит вам в комплексном анализе. Если функция дифференцируема, ее можно дифференцировать сколько угодно раз; более того, она может быть представлена степенным рядом. Причина – в тесном взаимодействии с теоремой Коши и, возможно, тем фактом, который Гаусс всё же применил в своем тайном доказательстве: чтобы быть дифференцируемой, комплексная функция должна отвечать очень жестким стандартам, известным как условия Коши – Римана. Эти условия прямо приводят нас к результатам Гаусса, что интеграл между двумя точками может зависеть от выбранного пути. Соответственно, как отмечал Коши, интеграл по замкнутому пути не может не равняться 0. Он равен 0 при условии, что данная функция дифференцируема (в этом случае она не бесконечна) в любой точке на пути.

Была открыта теорема о вычетах, которая позволяет вычислить величину интеграла вокруг замкнутого пути, зависящую только от расположения этих точек, где функция становится бесконечной, а также поведение функции вблизи этих точек. В двух словах: сама структура комплексной функции определяется ее особыми точками, в которых она себя «плохо» ведет. А самые важные точки – полюсы, где функция становится бесконечной.