Очередным критиком недостатков в изучении бесконечных процессов стал Абель, жаловавшийся на то, что ученые используют бесконечные ряды, не дав себе труда поинтересоваться, имеет ли смысл их сумма. Его критика оказалась действенной, и мало-помалу в хаосе стали намечаться черты некоего порядка.

Интенсивность лазерного излучения описывается функцией Бесселя J1(x)

Идеи Больцано дали толчок дальнейшему усовершенствованию. Он сделал возможным определение предела бесконечной последовательности чисел и, следовательно, ряда, который является суммой бесконечной последовательности. Так, его формализм подразумевает:

и т. д. до бесконечности. Это осмысленная сумма, и ее величина точно равна 2. Не чуть-чуть меньше, не бесконечно малой величине меньше 2, а ровно 2. Чтобы понять, как это работает, предположим, что у нас есть последовательность чисел:

и т. д. до бесконечности. Мы можем сказать, что an стремится к пределу a по мере того, как n стремится к бесконечности, если для любого числа ε > 0 существует такое число N, что разница между an и а меньше, чем ε, для любого n > N. (Символ ε, один из традиционно используемых математиками, – греческая буква эпсилон.) В этом определении все числа конечные – никаких бесконечно малых или бесконечно больших. В дополнение к бесконечному ряду выше взглянем на его конечные суммы:

и т. д. Разница между an и 2 равна 1/2n. Чтобы сделать ее меньше ε, мы берем n > N = log2 (1/ε).

Ряд, имеющий конечный предел, называют сходящимся. Конечная сумма определяется как предел последовательности конечных сумм, полученных добавлением всё новых ее элементов. Если такой предел существует, ряд сходящийся. И производные, и интегралы – лишь разновидности пределов. Они существуют – иными словами, обретают математический смысл – при условии, что их пределы сходятся. Пределы, как отмечал Ньютон, – некая величина, которая позволяет определить, как некое другое число приближается к бесконечности или 0. Но при этом число не может достичь бесконечности или 0.

Сегодня исчисление в целом опирается на непоколебимый фундамент. Ранее его главным недостатком было то, что, прежде чем прибегнуть к поиску предела, никто не интересовался, есть ли вообще сходимость. Лучшим способом сделать это было бы доказательство еще нескольких более общих теорем о том, какие виды функций непрерывны, или дифференцируемы, или интегрируемы, и какие последовательности и ряды сходятся. Именно этим и занялись математики, и именно поэтому мы можем уже не тревожиться из-за нестыковок, отмеченным епископом Беркли. Поэтому мы больше не противимся использованию рядов Фурье: теперь можно точно определить, когда они сходятся, а когда нет, и уж, во всяком случае, четко понять, в каком смысле они сходятся. Существует достаточно возможностей выбрать тот ряд Фурье, который вам нужен.

Вейерштрасс открыл, что одинаковые идеи работают и с комплексными числами, и с действительными. Любое комплексное число z = x + iy имеет модуль, что, согласно теореме Пифагора, равно расстоянию от 0 до z на комплексной плоскости. Если мерить величину комплексного выражения с помощью его модуля, то определения предела, ряда и т. п., сформулированные для действительных чисел еще Больцано, тут же перенесутся в область комплексного анализа.

Вейерштрасс отметил, что один особый вид бесконечного ряда кажется особенно полезным. Он известен как степенной ряд и выглядит как многочлен бесконечной степени:

где коэффициенты an – конкретные числа. Вейерштрасс углубился в исследование этого вопроса, стремясь полностью провести комплексный анализ степенных рядов. Результаты вышли блестящими.

Например, вы можете описать экспоненциальную функцию выражением: