Стремление к строгости математических рассуждений привело к появлению математической логики — Дж. Буль (1815–1864), О. Морган (1806–1871), Э. Пост (1897–1954), И.И. Жегалкин (1869–1947), К. Гедель (1906–1978).

Наибольшего развития дискретная математика достигла в связи с запросами практики, приведшими к появлению новых наук: кибернетики, теории кодирования, теории алгоритмов, теории автоматов и др. — Н. Винер (1894–1964), К. Шеннон (1916–1989), А. Черч (1903–1992), А. Тьюринг (1912–1954). Наконец, появился запрос и на создание теории информации.

Само деление математики на непрерывную и дискретную достаточно условно, так как в настоящее время происходит интенсивный обмен идей и методов между ними. Правильней было бы говорить о становлении в XX веке новой современной математики, существенно отличающейся от классической математики XVII–XIX вв., хотя, к сожалению, еще большинство школ и вузов придерживаются методики преподавания математики по канонам, не изменившимся со времен Архимеда.

В XX веке появились новые направления в науке, требующие своих специфических математических теорий, такие, как информатика, программирование, вычислительные методы с применением ЭВМ. От физики поступил заказ на развитие и обоснование суперструнных теорий, где пришлось отказаться от основного понятия классической физики и математики — понятия математической точки. Можно сказать, что на рубеже XXI века математика, уже вместе с физикой, переживает очередной острейший кризис, совпадающий с кризисом мировоззрения и самого человечества.

Первичной основой современной математики служит теория множеств. Понятие множества, строго говоря, не определяется. Приближенно множеством можно считать любое собрание объектов, мыслимое как единое целое.

Категории — это совокупность однотипных математических объектов и морфизмов между этими объектами. Теория категорий играет в математике роль параллельную и дополнительную к роли теории множеств.

Топология — раздел математики, имеющий своим предназначением выяснение и исследование идеи непрерывности. В настоящее время понятие непрерывного отображения предполагает только, что точки и множества рассматриваемой фигуры могут находиться в некотором интуитивно ясном отношении близости, отличном от отношения принадлежности. Такие фигуры называются топологическими пространствами.

Алгебраические системы — это множество с определенными на нем операциями и отношениями. Алгебраическая система называется алгеброй (общей, универсальной, абстрактной), если множество отношений пусто, и — моделью, если пусто множество операций.

Математическая логика — раздел математики посвященный изучению доказательств оснований математики. На основе математической логики были построены различные системы аксиоматической теории множеств. Наиболее известная из них — система Цермело-Френкеля. Прикладное значение математической логики — конструкция ЭВМ.

Наиболее часто мы сталкиваемся с понятиями операции, отношения и отображения.

Понятие операции интуитивно ясно на примере хорошо известных операций сложения и умножения. Это — бинарные операции. Примером унарной операции является отрицание.

Отношения устанавливают связь между множествами.

Отображения — это закон, по которому каждому элементу некоторого заданного множества сопоставляется однозначно определенный элемент другого заданного множества. Фундаментальными понятиями математики являются также понятия ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности.

Ассоциативность — это сочетательный закон для операции.

Коммутативность — это переместительный закон для операции.

Дистрибутивность — это распределительный закон для двух операций.

Навести порядок в этом необозримом море различных алгебр помогает свойство гомоморфизма, которым обладают алгебры одного и того же типа. Гомоморфизм — это одно из наиболее важных понятий в математике. Изоморфизмом называется взаимно-однозначный гомоморфизм.

К сожалению, огромное количество новых правил в современной математике отпугивает от нее множество людей, формируя общую неприязнь к математике, что в гуманитарной сфере даже возводится в ранг достоинства. Это происходит видимо потому, что человек изначально воспринимает только ту информацию, которая доступна его пониманию. Именно особое понимание природы на уровне интуиции определяет принадлежность человека к физике, хотя опыт показывает, что зачастую с трудом достигнутое понимание рано или поздно оказывается ложным. В математике ситуация несколько другая, здесь все основные понятия — это правила Игры, к которым надо привыкнуть, а не понять. Более того, математики считают, что все введенные ими понятия — реальны.

В итоге, мы решили «не пугать» читателей сложными формулами и постараться обойтись без них.

2.2. Фрактальная геометрия

В отличие от физики, в математике революции проходят спокойно и даже незаметно. Появление комплексных чисел большинством математиков XVIII века было воспринято, как естественный процесс расширения множества вещественных чисел (ассоциируемое с линией без ширины), до двумерного множества в плоскости комплексных чисел. То же самое можно сказать и о революционных изменениях в базовых понятиях математики второй половины XIX века.

Все началось с открытия К. Вейерштрассом непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции [17]. В сущности, эта функция уже была прообразом фрактала, но никто еще об этом не догадывался. Математическая мысль пошла в сторону введения новых понятий — дробной размерности и, соответственно, — дробной производной [18]. «Фрактальная» функция Вейерштрасса, из-за ее «изрезанности» («шероховатости»), воспринималась как линия с шириной.

В начале ХХ века Жюлиа и Фату открыли нелинейное итерационное отображение с комплексными аргументами: zn+1 → Zn2 + c. Это уже был настоящий фрактал, но «разглядеть» его не представлялось возможным ввиду отсутствия технических средств. Такая возможность появилась только с созданием компьютерных технологий. Считается, что фракталы открыл Мандельброт в 1977 г. [19]. Он впервые наблюдал на экране дисплея множество Жулиа. Эффект превзошел все ожидания — перед учеными наглядно открылся виртуальный мир комплексных чисел:

Фрактальные картины с экрана дисплея быстро перекочевали в музейные залы искусствоведов — началась эпоха фрактальной геометрии [20]. Более того, фракталы существуют и в Природе (живой и не живой). Одни фракталы статичны (очертания гор, извилистая линия морского берега и др.), другие непрерывно меняются (движущиеся облака, мерцающее пламя и др.), третьи — живые, они сохраняют структуру в процессе эволюции (деревья, сосудистые системы животных, человека и др.); фрактальные объекты самоподобны — каждая точка объекта повторяет сам объект в меньшем масштабе до бесконечности.

Компьютер, как главный «поставщик» фрактала, позволяет увидеть связи и значения, которые до сих пор были скрыты от нас. Главным образом это относится к компьютерной графике, переживающей сегодня период интенсивного развития и обогатившей наши возможности в такой степени, которая редко достигалась другими средствами науки.

Многие ученые, и люди искусства, и обеспокоенные родители, воспринимают компьютер как дьявольский инструмент — все становятся его рабами [20]. Можно было бы отдать красивые компьютерные «картинки» для развлечения юных (и великовозрастных) дитятей. Но как быть с Природой? Кто (или что) породил аналогичные «игрушки» в нашем вещественном мире? Списать это на случайность — просто нелепо. Признать существование некой Всевышней Силы — в принципе, можно (на всякий случай). Но мы прекрасно осознаем, что картины, и в компьютерном дисплее, и в Природе — это порождение «Игры» комплексных чисел. В отличие от физики,