В нашем предыдущем примере n = 8, а p = 5, поэтому треугольников получается 10 + 8 – 2 = 16.

Доказательство: Предположим, что в процессе триангуляции у нас получается количество треугольников, равное T. Мы можем доказать, что T = 2p + n – 2, решив одну арифметическую задачку двумя разными способами. Итак, внимание!

Вопрос: Чему будет равна сумма углов всех треугольников?

Ответ 1: Так как количество треугольников равно T, а сумма углов каждого из них – 180°, общая сумма составит 180T градусов.

Ответ 2: Разобьем задачу на две. Углы, прилежащие к каждой из внутренних точек (напомним, что их количество равно p), образуют окружность, следовательно, их общая сумма составит 360p градусов. С другой стороны, из предыдущей теоремы мы знаем, что сумма углов n-угольника равна 180(n – 2) градусам. Значит, всего получится 360p + 180(n – 2) градусов.

Из двух ответов составим уравнение

Разделим обе части на 180, что даст нам

что и требовалось доказать.☺

Периметр полигона есть сумма длин его сторон. Так, периметр прямоугольника длиной b и шириной h будет равен 2b + 2h, потому что и b, и h суть размеры каждой из двух его сторон. А как насчет площади? Исходим из того соображения, что площадь квадрата размером 1 на 1 (так называемого единичного квадрата) равна 1. При положительных целых значениях b и h (как на рисунке) мы можем разбить всю площадь на bh единичных квадратов, а значит, она будет равна bh. В целом же, любой прямоугольник с длиной b и шириной h (где b и h суть положительные, но необязательно целые величины) имеет площадь bh.

Начав с площади прямоугольника, можно найти площадь практически любой другой геометрической фигуры, в первую очередь – треугольника.

Теорема: Площадь треугольника с длиной основания b и высотой h составляет

Для наглядности возьмем три конкретных треугольника, основание каждого из которых рана b, а высота – h, что значит, что их площадь также должна быть равна. Это, по сути, наш третий вопрос, ответ на который, готов поспорить, многих из вас удивил.

В зависимости от того, какие размеры имеют прилежащие к основанию AC углы ∠A и ∠C, нам нужно рассмотреть три разных частных случая, а затем создать копию треугольника ABC и вписать его вместе с оригиналом в прямоугольник с площадью bh, как показано на рисунке. Треугольник ABC займет ровно половину этой площади, а значит, его площадь составит как мы и предполагали.

Если углы ∠A и ∠C острые, остроумным будет и доказательство. Из точки B проведите линию длиной h так, чтобы она была перпендикулярна отрезку AC (она называется высотой треугольника ABC), пересекая его в точке X, как показано на рисунке:

AC, таким образом, состоит из отрезков AX и XC, длины которых составляют соответственно b1 и b2, где b1 + b2 = b. А так как треугольники BXA и BXC получились у нас прямоугольными, то, согласно предыдущему примеру, их площади будут равны соответственно. Следовательно, площадь большого треугольника ABC –