ли одно число на другое, прибавление последнего или кратного последнему к первому не повлияет на делимость.

Когда мы проверяем, делится ли 91 без остатка на 7, то на самом деле прибавляем 49 (7 х 7) к 91, получая в ответе 140. Если мы уберем нуль в конце, это никак не изменит результат.

Проверяя, делится ли 112 на 7, мы умножаем 2 на 5 и получаем 10.

После этого 11 + 10 = 21, что, в свою очередь, равно 7 х 3.

Прибавить 100 к 110 — это то же самое, что прибавить 98 (2 х 49 или 7 х 7 х 2) к 112.

98 + 112 = 210

210 = 3 х 7 х 10

Внимательно рассмотрим вспомогательный множитель для 13. Прежде всего определим, какое число является вспомогательным множителем для 13?

3 х 13 = 39

39 на 1 меньше, чем 40, поэтому берем 4 (цифру десятков числа 40) в качестве вспомогательного множителя. Чтобы проверить, делится ли число на 13, умножим цифру единиц на 4 и прибавим к полученной сумме цифру десятков.

Например, делится ли 78 без остатка на 13?

Цифрой единиц является 8:

8 х 4 = 32

32 + 7 (цифра десятков числа 78) = 39 (3 х 13)

Поскольку 39 равно 3 х 13, получаем, что 78 кратно 13. Если мы сомневаемся насчет 39, можно продолжить процесс:

9 х 4 = 36

36 + 3 = 39

Поскольку мы получили то же число, можно с уверенностью сказать, что исходное число без остатка делится на 13. Рассмотрим другой пример. Является ли 351 кратным 13? Цифрой единиц является 1:

1 х 4 = 4

4 + 35 = 39 (39 = 3 х 13)

Итак, мы доказали, что 351 кратно 13.

А как насчет 3289? Делится ли оно без остатка на 13? Проверяемое число оканчивается на 9:

9 х 4 = 36

328 + 36 = 364

Мы не знаем, делится ли 364 на 13, поэтому на этот раз подвергаем проверке число 364.

Его последней цифрой является 4.

4 х 4 = 16

36 + 16 = 52 (52 = 13 х 4)

Если бы мы не знали, что 52 равно 13 х 4, то могли бы продолжить проверку далее.

Цифрой единиц числа 52 является 2.

2 х 4 = 8

5 + 8 = 13

Теперь мы знаем наверняка, что 3289 без остатка делится на 13.

А как насчет делимости на другие числа из нашего списка в начале главы?

Чтобы проверить делимость на 17, в качестве вспомогательного множителя берем 12; для 19 — 2; для 3–7; для 29 — 3. Данные множители могут быть найдены с помощью метода для определения вспомогательных множителей.

Например, является ли 578 кратным 17?

Большинству из нас деление на 17 покажется довольно непростой задачей. И мы, скорее всего, воспользуемся калькулятором.

Нам известно, что 12 является вспомогательным множителем при проверке делимости на 17. Умножаем 8 (цифру единиц числа 578) на 12.

12 х 8 = 96

96 + 57 = 153

То, что 153 без остатка делится на 17, не является очевидным. Попробуем снова.

3 х 12 = 36

36 + 15 = 51

Если вы не уверены насчет 51, продолжим процесс:

1 х 12 = 12

12 + 5 = 17

Очевидно, что 17 делится без остатка на 17. Поэтому 578 кратно 17.

Замечание: чуть позже я покажу альтернативный метод, с помощью которого можно проверить делимость на 17.

Рассмотрим какой-нибудь пример в обратную сторону. Произведение 7 х 13 равно 91, поэтому 91 является кратным для обоих чисел.

Проверка для 7:

1 х 5 = 5

5 + 9 = 14

14 равно 2 х 7, поэтому 91 без остатка делится на 7. Проверка для 13:

1 х 4 = 4

4 + 9 = 13

Таким образом, 91 делится на 13.

Попробуйте определить делимость самостоятельно:

а) Является ли 266 кратным 19?

б) Является ли 259 кратным 7?

в) Является ли 377 кратным 13?

г) Является ли 377 кратным 29?

Ответ утвердительный в каждом случае.

Отрицательные вспомогательные множители

Проверять делимость на число можно также с помощью отрицательного вспомогательного множителя.

Чтобы определить отрицательный вспомогательный множитель, увеличиваем проверяемый делитель на столько раз, чтобы полученный ответ оканчивался на 1 (цифра единиц). Количество десятков полученного числа берем в качестве вспомогательного множителя.

Отрицательным вспомогательным множителем для 17 будет 5, поскольку 3 х 17 = 51. Попробуем еще раз решить некоторые вышеприведенные примеры, решенные с помощью положительного вспомогательного множителя.

Является ли 578 кратным 17?

Нашим отрицательным вспомогательным множителем является 5 (—5).

-5 х 8 = -40

Вычитаем результат произведения из числа, полученного после отбрасывания цифры единиц:

57 – 40 = 17

Мы доказали, что 578 делится на 17 без остатка за один шаг.

Попробуем решить другой пример. Делится ли 918 на 27 нацело?

Во-первых, необходимо определить отрицательный вспомогательный множитель для 27. Произведение 3 х 27 равно 81. Нашим искомым множителем является —8.

Умножаем цифру единиц числа 918 на множитель —8:

-8 х 8 = -64

91 – 64 = 27

Получили, что 918 делится на 27.

Еще один пример. Является ли 135 кратным 27?

Вспомогательным множителем является —8.

5 х -8 = -40

13 – 40 = -27

В ответе получили —27, доказав, что 135 делится на 27 без остатка. (Чтобы получить —27, все, что нам надо было сделать, — это вычесть 13 из 40 и поставить знак «минус» перед результатом.)

Попробуйте определить делимость самостоятельно:

а) Является ли 136 кратным 17?

б) Является ли 595 кратным 17?

в) Является ли 1426 кратным 31?

г) Является ли 756 кратным 27?

Во всех данных примерах ответ утвердительный. Проверка не представляет никаких трудностей.

Какой вспомогательный множитель выбрать — положительный или отрицательный?

Если числа оканчиваются на 7 или 1, то лучше использовать отрицательные вспомогательные множители. Посмотрим, какие цифры единиц могут быть у делителей, подвергающихся проверке.

Если делитель оканчивается на 1, в этом случае мы используем отрицательный вспомогательный множитель. Это число, составленное из цифр, стоящих перед 1, и со знаком «минус». Например, для числа 31 вспомогательным множителем будет —3.

Если делитель оканчивается на четную цифру, то сначала его следует разделить пополам, а затем использовать самый подходящий из методов для определения вспомогательного множителя.

Если делитель оканчивается на 3, то после умножения на