на 9, мы используем ту же формулу, что и для чисел, оканчивающихся на 1, однако вместо 1 берем —1.

Пример:

292 =

Чтобы вычислить 292, округлим 29 до 30. Квадрат 30 равен 900. Теперь удваиваем 30, получая 60, и вычитаем это число из предыдущего результата.

900 — 60 = 840

Теперь прибавим 1.

840 + 1 = 841

Стандартная формула выглядит так: (а + 1) х (а + 1). В данном же случае единица берется со знаком «минус», поэтому записываем:

(a — 1) х (a — 1)

Раскрывая скобки, получаем:

a2 — 2a + 1

Это то же самое, что мы проделывали, вычисляя 292.

Вспомним, что а = 30. Возводим 30 в квадрат и получаем 900. На этот раз мы вычитаем 2а (60) из 900, получая 840. —1 в квадрате, то есть (—1), равно 1, которое мы также прибавляем и получаем в результате окончательный ответ: 841.

Данный подход проще, чем стандартное умножение в столбик.

Сумма и разность дробей

Концепция, о которой я поведу речь, основана на наблюдении, сделанном мною еще в начальной школе. Чтобы складывать дроби и вычислять их разность, не нужно находить наименьший общий знаменатель.

Если перемножить знаменатели дробей, мы получим общий знаменатель. Затем, если захотите, вы можете сократить дробь, чтобы получить меньший общий знаменатель или даже наименьший. Если не сокращать дробь, вычисления могут быть немного сложнее, однако ответ вы все равно получите правильный.

Возьмем простой пример:

1/2 + 1/4 =

Перемножим знаменатели и получим знаменатель искомой дроби (8). Теперь сложим знаменатели и получим числитель искомой дроби (6).

Ответ: 6/8.

Мы видим, что данная дробь может быть сокращена до 3/4, поскольку и числитель, и знаменатель делятся на 2.

В данном случае наименьший общий знаменатель равен 4. Оба метода годятся для получения ответа.

Я знакомлю детей с понятием наименьшего общего знаменателя только после того, как удостоверюсь, что они достаточно уверенно складывают и вычитают дроби по моему методу.

Приложение Д

Выбрасывание девяток: секрет метода

Чем объяснить способ выбрасывания девяток? Почему цифры числа дают в сумме остаток от деления на 9?

А секрет вот в чем.

9 равно 10 минус 1. Для каждой десятки, содержащейся в числе, вы получаете одну девятку и остаток 1. Если число содержит два десятка (20), получаем две девятки и остаток

2. 30 дает три девятки и остаток 3.

Рассмотрим число 32: оно состоит из 30, то есть трех десятков, и 2, то есть двух единиц. Находя остаток от деления на 9, в случае 30 получаем три девятки и остаток 3. Две единицы в числе 32 сами являются остатком от деления на 9, поскольку 2 на 9 разделить нельзя. Переносим остаток 3 от 30 и прибавляем его к остатку 2.

3 + 2 = 5

Таким образом, 5 является остатком от деления 32 на 9.

Для каждой сотни в числе мы получаем десять девяток и остаток 10. Он также делится на 9 и дает остаток 1. В результате для каждой сотни имеем остаток 1. Если взять число 300, остатком от деления его на 9 будет 3.

Иначе посмотреть на данное свойство можно таким образом:

1 х 9 = 9 (10 — 1)

11 х 9 = 99 (100 — 1)

111 х 9 = 999 (1000 — 1)

1111 х 9 = 9999 (10000 — 1)

Иными словами, каждая единица в любом разряде числа соответствует одной единице остатка.

Например, в числе 32145 цифра 3 обозначает десятки тысяч — для каждого десятка тысяч будет иметься остаток, равный 1. В данном случае суммарный остаток будет 3. Цифра 2 обозначает тысячи. Для каждой тысячи остаток будет равен 1. То же самое можно сказать и о сотнях, и о десятках. Цифра единиц сама является остатком, если только она не равна 9. В последнем случае мы просто выбрасываем цифру 9.

Таким замечательным свойством обладает число 9. Его можно с успехом применять для проверки ответов и делимости на 9. Помимо того что оно помогает в делении на 9, данное свойство позволяет лучше понять суть деления как операции над числами.

Приложение Е

Возведение в квадрат футов и дюймов

В начальной школе нам приходилось вычислять площадь прямоугольных фигур со стороной, выраженной в футах или дюймах. Метод, которому нас учили, состоял в том, чтобы приводить все к одному измерению — в данном случае к дюймам — и затем умножать.

Например, если нам необходимо найти площадь садового участка со сторонами 3 фута 5 дюймов и 7 футов 1 дюйм, мы переводим длину сторон в дюймы, перемножаем их, а затем делим результат на 144, чтобы получить в целой части квадратные футы, а в остатке — квадратные дюймы.

Однако есть гораздо более простой способ.

Мы проходили его на уроках алгебры, но нам не объясняли, как его можно применить на практике.

Давайте умножим 3 фута 5 дюймов на 7 футов 1 дюйм, используя метод прямого умножения.

Прежде всего обозначим футы буквой f Запишем произведение 3 футов 5 дюймов и 7 футов 1 дюйма следующим образом:

(3f + 5) х (7f +1)

Запишем произведение так:

Теперь используем метод прямого умножения, с которым познакомились в главе 22.

Сначала умножаем 3f на 7f и получаем 21f2 (21 квадратный фут).

Теперь перемножаем накрест:

3f х 1 = 3f, плюс 7f х5 = 35f (35 футов на дюйм)

3f + 35f = 38f

Пока наш ответ равен 21f2 + 38f.

Теперь перемножим дюймы.

5 х 1 = 5 (5 квадратных дюймов)

Наш ответ: 21f2 + 38f + 5.

Иными словами, наш результат — 21 квадратный фут плюс 38 футов на дюйм и плюс 5 квадратных дюймов. (38 футов на дюйм означает 38 прямоугольников с длиной одной стороны 1 фут, а другой — 1 дюйм. 12 таких прямоугольников, расположенных сторона к стороне, дают площадь в 1 квадратный фут.) Разделим 38f на 12 и получим еще 3 квадратных фута, которые в сумме с 21 квадратным футом дадут 24 квадратных фута.

Умножим остающиеся 2 фута на дюйм на 12, переводя их в квадратные дюймы:

2 х 12 = 24

5 + 24 = 29 квадратных дюймов

Наш окончательный ответ: 24