Каждый автор создавал свой собственный символизм, опираясь на предшественников, писавших на его языке, – так что мало-помалу появились национальные школы алгебраических условных знаков. Правда и то, что нет ни одного автора XVI века, трудившегося в этой области, который не изобрел хотя бы одного символа, который до сих пор используется. Так, например, Роберт Рекорд, учитель, а не математик, первым применил современный знак равенства, хотя его использовали и раньше как нематематический коммерческий символ. В работе 1557 года он объяснил, что, по его мнению, ничто не может быть более равным, чем две одинаковые параллельные прямые. Трудно найти пример, лучше иллюстрирующий сложность оценки вклада в символизм, чем работа Симона Стевина о десятичных дробях. Его небольшой труд по этому вопросу был опубликован в 1585 году на голландском языке под названием «Десятая часть» (De Thiende) и имел большое влияние на популяризацию десятичных долей для упрощения арифметических расчетов, но его нотация оказалась сумбурной, нескладной и впоследствии была заменена. Первое предложение о необходимости использования общих правил выдвинул Франсуа Виет (1540–1603). Он предложил использовать гласные для неизвестных количеств и согласные для известных или постоянных количеств. Этот принцип был в конце концов принят (в несколько другой форме), когда Декарт начал ставить буквы в конце алфавита (в первую очередь х) для обозначения неизвестных, а буквы в начале алфавита – для обозначения констант. Это правило быстро вошло в практику XVII века.

Более важным, чем развитие символизма, было открытие общих методов действий с алгебраическими степенями и сложными уравнениями. Греки решали квадратные уравнения геометрически. Исламские математики пошли по их стопам и нашли решения некоторых форм кубических уравнений. Но многие из них впоследствии не нашли решения математическими методами XVI века: немногие квадратные уравнения могли решаться алгебраическими методами, в отличие от геометрических. Пачоли сформулировал простые общие правила для таких уравнений, как х2 + х = а, но для более сложных случаев использовал громоздкие геометрические решения. Цель заключалась в нахождении простых методов, которыми любой может научиться пользоваться, – вот только поиск этих простых методов оказался сложным. Сегодня мало кто сочтет сложной задачу: «Найдите число, которое, умноженное на свой корень плюс 3, составит 21». То есть найти х2, если х3 + 3х2 = 21. Даже если мы не помним, как ее решить, мы точно знаем, что для этого есть метод. А Кардан, гордившийся своими алгебраическими знаниями, не сумел этого сделать, когда Тарталья предложил ему в 1539 году, среди прочих задач, решить эту. Тогда Тарталья подумал, что Кардан хочет заставить его разгласить свой метод решения простых кубических уравнений.

Репутация Тартальи как профессионального преподавателя математики (он читал лекции в Вероне и Венеции), а также его благосостояние зависели от его умения продемонстрировать свои возможности на публичных выступлениях, которые были обычными в XVI веке (и оставались таковыми еще полтора столетия). Такой человек должен всегда иметь что-то в запасе, чтобы завоевать известность и произвести впечатление на коллег. До 1539 года Тарталья нередко сталкивался с публичными вызовами, всякий раз опасаясь, что речь пойдет о кубических уравнениях, он разработал правила для решения одного или нескольких типов. И всегда он успешно отвечал на заданные ему публично вопросы и задавал свои – встречные. Неудивительно, что он писал только о прикладной математике, предпочитая насладиться публичными почестями и славой, прежде чем поведать остальному математическому миру, как решать подобные задачи. В 1539 году к нему обратился Кардан с задачами, которые были частью состязания между Тартальей и другим математиком двумя годами ранее. Тарталья, должно быть сдавшись перед настойчивостью Кардана, дал ответ, который Кардан не смог найти сам. При этом он взял с Кардана обещание не открывать секрет – это обещание Кардан легко нарушил, опубликовав свой алгебраический трактат «Великое искусство» (Ars Magna) шестью годами позже. И хотя Кардан отдал должное Тарталье, последний был раздражен и обижен и в отместку опубликовал всю историю в мельчайших подробностях. Репутация Кардана в глазах историков и математиков совершенно не пострадала, а ведь у Тартальи были все основания обижаться. Дело в том, что, получив метод решения, Кардан сумел проанализировать разные виды кубических уравнений и впервые признал отрицательные корни значимыми. Но он не был автором метода, который описал.

Алгебра в конце XVI века продолжала прогрессировать, особенно в работах Виета и Томаса Гариота (1560–1621). Оба трудились над кубическими уравнениями, изобретая новые методы их решения и решения уравнений более высокой степени. (Они сводили кубическое уравнение к форме у6 + у3 = а, которую можно было рассматривать как квадратное уравнение, а уравнения более высоких степеней решали методом аппроксимации.) Другим серьезным шагом вперед стал разработанный Виетом способ понижения степеней уравнений, то есть сведения сложных уравнений к более приемлемым формам. Виет также уделял много времени площадям фигур, ограниченных сложными кривыми. Продолжало развиваться национальное деление: труды Виета оказали влияние в основном на французскую математику, а английские математики предпочитали черпать идеи у Гариота.

Арифметика была полезна в домашнем хозяйстве и на рынках; алгебра позволяла решить хитроумные задачи, которые, в свою очередь, были применимы в коммерческой практике. Но только к науке все это не имело отношения. Арифметика, конечно, использовалась в астрономических расчетах, но предлагаемые ею методы были слишком обременительными. Астрономические вычисления оставались тяжелой монотонной работой, которую мало кто любил. К счастью для астрономии, во все времена находились ученые, которым нравилось сражаться с большими цифрами. Яркий пример – Кеплер. Даже сравнительно несложные астрономические расчеты затрагивали еще одну отрасль математики, интересную только для астрономов, – древнее искусство тригонометрии. Она получила свое развитие у греческих астрономов, в первую очередь у Гиппарха и Птолемея, поскольку существовала необходимость измерять и линейную, и угловую скорости. Греческая тригонометрия первоначально занималась определением длины дуги путем измерения длины хорды соответствующего круга. Таким образом, на рис. 8, если тело движется от А к В по дуге окружности, пройденное расстояние можно определить или измерением угла АОВ при известной длине радиуса АО, или из длины радиуса и хорды АВ. Таблицы хорд, составленные Птолемеем, давали их длины как части диаметра окружности и соответствующие длины дуг. Разные индо-арабские открытия привели к инновации: треугольник стали делить пополам, чтобы получился прямоугольный треугольник, в котором очень важно отношение половины угла в центре окружности (точка О на рисунке) и радиуса. Это и есть тригонометрический синус, хотя в современной форме появился только в XVIII веке. Тангенсы появились в результате измерения тени для расчета времени. В XV веке прямоугольный треугольник был заменен треугольником, вписанным в круг. В результате образовался косинус – очень полезная тригонометрическая функция. Секанс и косеканс тоже стали известными в XV веке как побочные продукты навигационных таблиц. Так же как косинус и тангенс, они получили современные названия в XVI веке. Сферическая тригонометрия, рассматривавшая треугольники, образующиеся пересечением окружностей на сфере, широко использовалась в астрономических вычислениях. Отсюда «доктрина сфер», которая началась как простейшая отрасль математической астрономии, включающая только название и определение местонахождения больших кругов Вселенной.