f '(x) = lim f(x + ε) — f(x) / ε при ε → 0.

Чтобы увидеть, как это помогает избавиться от грязной уловки Ньютона, рассмотрим ту функцию, которая использовалась для демонстрации флюксий Ньютона: f '(x) = x2 + x + 1. Производная этой функции равна

f '(x) = lim (x2 + 2εx + ε2 + x + ε+ 1 — x2 — x — 1) / ε при ε → 0..

Теперь x2 взаимно уничтожается с –x2, x аннигилирует с –x, а 1 — с –1. Остается

f '(x) = lim (2εx + ε + ε2) / ε при при ε → 0.

Разделив на ε, мы помним, что ε всегда отлично от 0, потому что мы еще не вычислили предел. Получаем

f '(x) = lim (2x + 1 + ε) при ε → 0.

Теперь мы находим предел и позволяем ε приблизиться к 0. Получаем

f '(x) = 2x + 1 + 0 = 2x +1

Это и есть ответ, который мы ищем. Всего лишь небольшой сдвиг в мышлении, но он и составляет всю разницу.

Чтобы показать, что рациональных чисел столько же, сколько натуральных, Кантор должен был всего лишь предложить разумный способ «рассадки». Именно это он и проделал.

Как вы можете вспомнить, рациональные числа — это набор чисел, которые могут быть выражены как a / b, где a и b — целые числа (при b, конечно, отличном от ноля). Для начала рассмотрим положительные рациональные числа.

Представьте себе числовую решетку — две числовые оси, пересекающиеся в нулевой точке, совсем как декартовы координаты. Поставим ноль в начало и любой другой точке решетки соотнесем рациональное число x / y, где x — координата точки по оси X, а y — координата по оси Y. Поскольку числовые оси уходят в бесконечность, каждое положительное сочетание x и y имеет точку на решетке (рис. 58).

Рис. 58. Нумерация рациональных чисел

Теперь давайте составим схему рассадки положительных рациональных чисел. В качестве места 1 начнем с точки 0 на решетке. Затем перейдем к точке 1 / 1 — это место 2, затем к точке 1 / 2 — это место 3, затем — к 2 / 1 (что, конечно, то же самое, что число 2) — это место 4, затем к 3 / 1 — это место 5. Мы можем путешествовать туда и сюда по решетке, пересчитывая по дороге числа. Это дает такую схему рассадки (место — рациональное число):

1 . . . . . . . . . . 0

2 . . . . . . . . . . 1

3 . . . . . . . . . . 1/2

4 . . . . . . . . . . 2

5 . . . . . . . . . . 3

6 . . . . . . . . . . 1

7 . . . . . . . . . . 1/3

8 . . . . . . . . . . 1/4

9 . . . . . . . . . . 2/3

И так далее, и так далее.

Со временем все числа получат места, некоторые — даже два. Удалить дубликаты легко — просто пропустить их при составлении схемы.

Следующий шаг — удвоить список, добавив отрицательные после соответствующих положительных рациональных чисел. Это даст нам схему рассадки:

Место — рациональное число

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

3 . . . . . . . . . . . . . . . . .–1

4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1/2

5 . . . . . . . . . . . . . . . — 1/2

6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

7 . . . . . . . . . . . . . . . . .–2

8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

9 . . . . . . . . . . . . . . . . .–3

И так далее, и так далее.

Теперь все рациональные числа — положительные, отрицательные и ноль — имеют места. Поскольку никто не остался стоять и все места заняты, рациональных чисел столько же, сколько счетных.

Это легко — просто следуйте этим несложным инструкциям.

Шаг 1. Создайте небольшую кротовую нору. Оба ее конца будут в одной и той же точке времени.

Шаг 2. Прикрепите один конец кротовой норы к чему-нибудь очень тяжелому, а другой — к космическому кораблю, двигающемуся с 90% скорости света. Каждый год на корабле эквивалентен 2,3 года на Земле, часы на обоих концах кротовой норы будут идти с разной скоростью.

Шаг 3. Подождите немного. Через 46 лет по земному времени направьте кротовую нору к дружественной планете. Путешествие по кротовой норе приведет вас из 2046 года на Земле в 2020 год на Зилоксе или наоборот.

Шаг 4. Если вы достаточно сообразительны, вы могли начать планировать эту миссию заранее. Вы могли отправить на Зилокс послание задолго до того, как отправились в путь, организовав полет корабля с Зилокса навстречу, начавшийся в 1974 году (по летоисчислению Зилокса). Тогда в 2020 году по времени Зилокса другая кротовая нора могла бы переправить вас на Землю в 1994 год (по земному времени). Если вы будете пользоваться обеими кротовыми норами, то сможете перепрыгнуть из 2046 года (по Земле) в 2020-й (по Зилоксу) и далее в 1994-й (по Земле): вы вернетесь обратно во времени более чем на полстолетия!