Кантор был религиозен и стремился примирить математику со своей верой. Природа бесконечного в те времена все еще была очень прочно увязана с религией, поскольку христианский Бог считался бесконечным и утверждалось, что Он есть единственная и неповторимая реальная бесконечность. Замечание Кронекера о целых числах вовсе не было метафорой. И тут появляется Кантор и заявляет, что в математике тоже есть актуальные бесконечности… Ну вы можете представить себе, что после этого должно было произойти. Однако Кантор дал достойный ответ, заявив: «Трансфинитная разновидность ровно в той же мере соответствует намерениям Создателя… как и конечные числа». Это был умный довод, поскольку отрицать его означало бы утверждать, что Бог имеет какие-то ограничения, что уже смахивало на ересь. Кантор даже написал об этом папе Льву XIII и направил ему несколько математических статей. Бог знает, что папа об этом подумал.

* * *

Математики понимали, что делает Кантор. Гильберт признавал значимость его работы и хвалил ее. Но с возрастом Кантор почувствовал, что теория множеств не произвела того эффекта, на который он надеялся. В 1899 г. у него случился приступ депрессии. Он вскоре оправился, но потерял веру в себя. Он написал Йосте Миттаг-Леффлеру: «Не знаю, когда я вернусь к продолжению научной работы. В настоящее время я абсолютно ничего не могу с ней делать». Пытаясь бороться с депрессией, он отправился на отдых в горы Гарц и попытался примириться со своим академическим противником Кронекером. Кронекер отреагировал на это положительно, но отношения между ними так и остались натянутыми.

Математика держала Кантора в напряжении: он страдал, что не может доказать свою континуум-гипотезу. В какой-то момент он думал, что сумел ее опровергнуть, но быстро нашел ошибку в рассуждениях; затем ему показалось, что он сумел-таки доказать ее, но и в этом доказательстве обнаружилась ошибка. В этот момент Миттаг-Леффлер попросил Кантора отозвать статью из журнала Acta Mathematica, хотя дело уже дошло до верстки, – и не потому, что статья была неверна, а потому, что она «опередила время лет на сто». Кантор отреагировал на это с юмором, но внутренне был очень обижен. Он перестал писать Миттаг-Леффлеру, перестал интересоваться его журналом – и вообще практически оставил теорию множеств.

Его депрессия проявлялась, как правило, двояким образом. С одной стороны, он начинал усиленно интересоваться философскими следствиями из теории множеств. Другим ее проявлением была убежденность Кантора в том, что все работы Шекспира на самом деле были написаны Фрэнсисом Бэконом. Эта навязчивая идея заставила его серьезно изучить литературу Елизаветинского времени, и к 1896 г. он начал публиковать брошюры о своей любимой теории. Затем за короткий промежуток времени умерли мать Кантора, его младший брат и младший сын. В нем все сильнее проявлялись признаки душевного расстройства, и в 1911 г., когда Университет Св. Андрея в Шотландии пригласил Кантора в качестве почетного гостя на празднование 500-летия университета, он большую часть времени посвятил рассуждениям о Бэконе и Шекспире. Депрессия стала его постоянным спутником. Некоторое время в связи с этим он провел в лечебнице, и в 1918 г. умер в санатории от сердечного приступа.

* * *

Ирония судьбы заключается в том, что Миттаг-Леффлер был, по существу, прав, когда говорил Кантору, что тот на столетие опередил свое время, хотя, возможно, прав не в том смысле, который сам имел в виду. Несмотря на то что идеи Кантора постепенно завоевывали признание, самого значительного влияния теории множеств на математику пришлось ждать до 1950-х или 1960-х гг., когда наблюдался расцвет абстрактного подхода к математике, продвигавшегося группой ученых, называвших себя Никола Бурбаки. Влияние Бурбаки на математическое образование с тех пор (к счастью) спало, но убеждение входивших в группу математиков в том, что математические понятия должны определяться точно и как можно более обобщенно, держится до сих пор. А базисом для точности и общности является позиция, которую обеспечивают любимые множества Георга Кантора. Сегодня любая область математики, хоть теоретической, хоть прикладной, прочно опирается на формальные положения теории множеств. Не только философски, но и практически. Без языка множеств математики сегодня не смогли бы даже обозначить, о чем, собственно, идет речь.

Так что вот приговор потомков: да, к теории множеств и трансфинитным числам действительно есть философские вопросы, но они ничем не лучше и не хуже аналогичных философских вопросов к целым числам, которые так любил Кронекер. Они тоже дело рук человеческих, а дело рук человеческих редко бывает лишено недостатков. По иронии судьбы мы сегодня определяем целые числа при помощи… теории множеств. И рассматриваем Кантора как одного из истинных чудаков и оригиналов математики. Если бы он не придумал теорию множеств, со временем это сделал бы кто-то другой, но прошел бы, вполне возможно, не один десяток лет, прежде чем нашелся бы еще один человек с таким же редким сочетанием мощи, глубины и интуиции.

Софья Васильевна Ковалевская (урожденная Корвин-Круковская)

Родилась: Москва, Россия, 15 января 1850 г. Умерла: Стокгольм, Швеция, 10 февраля 1891 г.

С раннего детства маленькая Софа, как любя звали ее в семье, испытывала страстное желание понять все то, что привлекало ее внимание. Интерес к математике пробудился у нее в 11 лет; примечательно, что поводом к этому стали обои на стенах ее детской. Отец Софьи Василий Корвин-Круковский был генерал-лейтенантом артиллерии в Российской императорской армии, а мать Елизавета (урожденная Шуберт) происходила из семьи, занимавшей весьма высокое положение среди российской аристократии. Семья Корвин-Круковских владела поместьем Палабино под Санкт-Петербургом. При переезде в Палабино в доме был произведен ремонт, но на детскую обоев не хватило, и взамен были использованы листы какого-то старого учебника; им оказался курс лекций по дифференциальному и интегральному исчислению профессора Остроградского. В автобиографических «Воспоминаниях детства» Софья вспоминала, как часами разглядывала стены, пытаясь разгадать смысл покрывавших их загадочных символов. Она быстро запомнила формулы, да и текст тоже, но позже признавалась, что «в самый момент прочтения он и остался для меня непонятным»[23].

Надо сказать, что у девочки к тому моменту уже имелся опыт подобного самообразования. В то время не принято было учить грамоте маленьких детей, но Софа отчаянно хотела научиться читать. В шесть лет она самостоятельно заучивала буквы по газетам, а затем приставала к кому-нибудь из взрослых с просьбой сказать, что эта буква значит. Своим новым умением малышка похвасталась перед отцом, и тот, хотя сперва и отнесся к словам девочки с недоверием – подумал, что она просто заучила на память несколько предложений, – вскоре убедился в том, что дочь говорит правду. Он очень гордился ее умом и инициативой.