В 1869 г. Ковалевские уехали из России – сначала в Вену. Издательский бизнес Владимира рухнул, и он спасался от кредиторов; кроме того, оба жаждали более интеллектуальной атмосферы. Владимир хотел изучать геологию и палеонтологию. Ковалевская – к собственному удивлению – получила разрешение посещать в университете лекции по физике, однако получить математическое образование здесь возможности не было, поэтому супруги переехали в Гейдельберг. Поначалу руководство университета дало Софье от ворот поворот – решив, судя по всему, что она вдова, и смутившись, когда выяснилось, что она замужем, – но в конце концов удалось договориться, что Софья сможет посещать лекции, если профессор не будет против. Вскоре она уже проводила по 20 часов в неделю на лекциях, которые читали такие математики, как Лео Кёнигсбергер и Поль Дюбуа-Реймон, специалист по химической физике Густав Кирхгоф и физиолог Герман Гельмгольц.

Она также донимала химика и женоненавистника Вильгельма Бунзена просьбами разрешить ей и ее подруге Юлии Лермонтовой работать в его лаборатории, куда, как он когда-то поклялся, не должна была ступить нога ни одной женщины, тем более русской. «А теперь эта женщина заставила меня взять свои слова обратно», – жаловался он Вейерштрассу и в отместку распускал о Софье скандальные слухи. Его коллеги, напротив, с энтузиазмом встретили талантливую студентку, а газеты время от времени печатали о ней статьи. Ковалевская, не позволив обрушившемуся на нее вниманию вскружить ей голову, сосредоточилась на занятиях.

Ковалевские съездили в Англию, Францию, Германию и Италию. Владимир лично познакомился с Чарльзом Дарвином и Томасом Гексли, с которым заочно был знаком раньше. Софья, воспользовавшись своими связями, сумела встретиться с романисткой Джордж Элиот. В дневнике за 5 октября 1869 г. Элиот записала: «В воскресенье нас навещала интересная русская пара – месье и мадам Ковалевские: она очень хорошенькая, с приятным сдержанным голосом и речью, изучает математику… в Гейдельберге; он, любезный и умный, изучает, судя по всему, практические науки – особенно геологию». Философ и социал-дарвинист Герберт Спенсер, также присутствовавший в собрании, грубо заявил об интеллектуальной ущербности женщин. Ковалевская спорила с ним три часа, и Элиот отметила, что она «защищала наше общее дело достойно и храбро».

* * *

В 1870 г. Ковалевская переехала в Берлин, надеясь учиться там у Вейерштрасса. Услышав, что он отрицательно относится к образованию для женщин, она надела на встречу с ним шляпку, которая приличествовала бы скорее пожилой женщине и в значительной степени скрывала лицо. Вейерштрасс был удивлен, когда Софья попросила разрешения учиться у него, но ответил вежливо и предложил ей несколько задач, которые она должна была решить и принести ему. Ковалевская вернулась через неделю; все задачи были решены, причем часто оригинальными методами. Вейерштрасс позже сказал, что у нее был «дар интуитивного гения». Сенат университета отказал Ковалевской в возможности учиться официально, поэтому Вейерштрасс предложил ей заниматься частным образом. Между ними началась переписка, которая затем не прерывалась до смерти Ковалевской.

Анюта к тому времени жила в Париже с молодым марксистом Виктором Жакларом. В 1871 г. Национальная гвардия провозгласила Парижскую коммуну – радикальное социалистическое правительство, которое ненадолго взяло на себя управление городом. Ленин позже сказал, что это была первая попытка пролетарской революции разбить буржуазную государственную машину. Но государственная машина не хотела, чтобы ее разбивали. Софья услышала, что Жаклара могут арестовать за его политическую деятельность, и Ковалевские направились в Париж. Когда Версальское правительство начало обстреливать Коммуну из пушек, Софья и Анюта ухаживали за ранеными. Затем Ковалевские вернулись в Берлин, но, когда Париж пал и Жаклар был арестован, они вернулись, чтобы помочь Анюте и вывезти ее благополучно в Лондон, где ей помогал также Карл Маркс. Генерал Корвин-Круковский с женой отправился в Париж, чтобы содействовать освобождению Жаклара. Они не смогли добиться официального его освобождения, но из случайного разговора узнали, что Жаклара переводят в другую тюрьму. Когда заключенных вели сквозь толпу, какая-то женщина схватила Жаклара за руку, вытащила из колонны и увела прочь. Некоторые считают, что это была Анюта (хотя она в то время уже была в Лондоне), другие – что Ковалевская, третьи – что сестра Жаклара; кое-кто думает, что это был загримированный Владимир. Жаклар бежал; Владимир дал ему свой паспорт, по которому тот и уехал в Швейцарию. С той поры, занимаясь своей любимой математикой, Ковалевская не пренебрегала и участием в политических и социальных движениях.

Вернувшись в Берлин, она с энтузиазмом погрузилась в исследования. Работа шла хорошо, а вот с браком возникли проблемы. Супруги постоянно ссорились, Владимир начал хмуро поговаривать о разводе. К 1874 г. Ковалевская написала по результатам своих исследований три статьи, каждая из которых вполне могла бы принести автору заслуженную докторскую степень. Особенно важной была первая из них: Шарль Эрмит назвал ее «первым значительным результатом в общей теории дифференциальных уравнений в частных производных». Во второй статье речь шла о динамике колец Сатурна, а третья была чисто технической и посвящена упрощению интегралов.

Дифференциальное уравнение в частных производных устанавливает связь между скоростями изменения некоторой величины и несколькими различными переменными. К примеру, уравнение теплопроводности Фурье устанавливает связь между изменениями температуры в пространственных координатах – вдоль стержня – и тем, как ее величина в каждой конкретной точке изменяется во времени. Прием, примененный Фурье для решения этого уравнения при помощи тригонометрического ряда, основан на одном специфическом свойстве: его уравнение линейно, поэтому решения можно складывать друг с другом, получая при этом новые решения. В работе 1875 г. Ковалевская доказывает существование решений для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных при выполнении некоторых технических условий. Эта работа расширила результат Коши 1842 г., и теперь объединенная версия того и другого называется теоремой Коши – Ковалевской.

Статья, посвященная кольцам Сатурна, была написана Ковалевской в период ее работы с Вейерштрассом, но тема его не интересовала, и все исследования она проводила самостоятельно. Софья изучала динамику вращающихся колец жидкости, которые, по предположению Лапласа, могли служить моделью колец Сатурна. Проанализировав стабильность колец в этой модели, она показала, что они не могут быть эллиптическими, как полагал Лаплас, а должны иметь яйцеобразную форму, то есть быть широкими с одного конца и более узкими с другого. Эта работа интересна примененными методами и была бы еще интереснее, если бы содержала все необходимые доказательства, но вскоре стало известно, что кольца Сатурна состоят из бесчисленных дискретных частиц, так что жидкая модель, лежавшая в основе исследования, потеряла актуальность и стала сомнительной. Сама Ковалевская писала: «Благодаря исследованиям Максвелла приемлемость представлений Лапласа о структуре колец Сатурна стала вызывать сомнения».

Теперь пришел черед вечной проблемы академической политики. Для получения докторской степени статьи следовало представить в университет – и это должно было быть одно из тех редких заведений, которые готовы присвоить женщине степень доктора наук. Вейерштрасс обратился в Гёттингенский университет, который иногда давал докторскую степень иностранцам без обычной процедуры формальной защиты диссертации: в противном случае она должна была бы проходить на немецком языке. Ковалевская получила степень доктора философии по математике summa cum laude (с отличием), став первой женщиной после Марии Аньези в Италии эпохи Возрождения, получившей докторскую степень по математике, и одной из очень немногих женщин, сумевших получить степень доктора хоть каких-нибудь наук.