Предположим, в термосе 100 миллилитров кофе, а в чашке – 100 миллилитров молока. Допустим, мы налили 10 миллилитров кофе в молоко. Теперь в чашке с молоком 110 миллилитров.

Сейчас же прекратите!

Если взять произвольные значения, мы, конечно, сможем решить эту задачу, после того как все подсчитаем и обобщим полученный результат. Однако существует гораздо более быстрый и элегантный способ.

Во-первых, внесем ясность: смешивание двух жидкостей не меняет их химического состава. Общий объем кофе, как и молока, не изменится. В любом из сосудов та жидкость, что не является кофе, – это молоко, а та, что не является молоком, – кофе.

После двух переливаний жидкости в термосе остается столько же, сколько и в самом начале, просто теперь там есть определенный объем молекул кофе и определенный объем молекул молока. Куда же подевался недостающий объем кофе? Он остался в чашке, поскольку общий объем кофе не изменился. Таким образом, объем молока в термосе должен быть равен объему кофе в чашке. Размер термоса, чашки и количество жидкости, перелитой из одной емкости в другую, не имеют отношения к ответу.

Возможно, вам будет легче это понять на примере печенья и банок. В одной банке у нас шоколадное печенье, а в другой – кокосовое. Возьмите любое количество шоколадного печенья и положите его в банку с кокосовым. Затем достаньте из банки с кокосовым печеньем такое же количество печенья, которое теперь может быть разным, потому что печенье перемешалось, и положите его в банку с шоколадным печеньем.

Теперь в банке с шоколадным печеньем лежит шоколадное печенье и, возможно, немного кокосового. Однако очевидно, что кокосового печенья в этой банке столько же, сколько осталось шоколадного в банке с кокосовым печеньем.

57. ВОДА И ВИНО

Переливая из одного кувшина в другой только полпинты жидкости, невозможно добиться того, чтобы в каждом кувшине была половина воды и половина вина. Такое возможно только в случае, если удастся перелить все содержимое одного кувшина в другой.

Не пытайтесь решить эту головоломку, как и предыдущую, с помощью чисел, так как сразу же увязнете в дробях. Рассуждайте лучше следующим образом. После того как вы выливаете содержимое кувшина с высоким содержанием вина в кувшин с низким содержанием вина, в первом кувшине по-прежнему остается больше вина, чем во втором, ведь концентрация вина в первом кувшине не меняется. Тогда как во втором кувшине содержание вина будет в пределах значений исходного содержания вина в обоих кувшинах.

Аналогично после того, как вы выливаете содержимое кувшина с низким содержанием вина в кувшин с высоким содержанием вина, в первом кувшине по-прежнему будет более низкое содержание вина, чем во втором. Содержание вина в первом кувшине остается неизменным, тогда как во втором будет варьироваться в пределах значений исходного содержания вина в обоих кувшинах.

Изначально содержание вина в одном кувшине составляет 100 процентов, а в другом – 0. Поскольку в начале решения задачи существует разность в содержании вина в кувшинах, а при каждом переливании (либо из кувшина с низким содержанием вина в кувшин с его высоким содержанием или наоборот) сохраняется хотя бы малая часть этой разности, значит, два кувшина не могут быть наполнены водой и вином в соотношении 50: 50.

58. 15 МИНУТ СЛАВЫ

Здесь моментом озарения для вас станет осознание того, что песочные часы можно переворачивать раньше, чем песок полностью высыплется из одного сосуда в другой.

Сначала перевернем двое песочных часов, как описано в примере. Но на этот раз часы на 7 минут перевернем сразу же после того, как высыплется весь песок. К тому моменту, когда высыплется весь песок в часах, песок в часах на 7 минут будет высыпаться еще 4 минуты. Переверните их еще раз сразу же, как опустеют часы на 11 минут! Теперь понадобится еще 4 минуты, чтобы они опустели. После этого общее количество времени, прошедшего с самого начала, составит 15 минут.

59. ПУТАНИЦА С ФИТИЛЯМИ

1. В задаче сказано, что, если разрезать фитиль пополам, это не дает гарантий, что любой из его фрагментов сгорит за полчаса. Следовательно, если вы отрежете четверть фитиля, то оставшаяся часть не обязательно сгорит за 45 минут. Для решения головоломки требуется нестандартный подход.

Если зажечь фитиль с одного конца, а через 30 минут погасить, то оставшийся фрагмент, какой бы ни была его длина, тоже сгорит за 30 минут. Если поджечь фитиль с обоих концов, он обязательно сгорит за 30 минут, даже если с одной стороны сгорит больше, чем с другой.

Стало быть, необходимо зажечь один фитиль с обоих концов, а другой – только с одного конца. Через 30 минут один фитиль сгорит полностью, а другому останется гореть еще 30 минут. В этот момент нужно поджечь другой конец второго фитиля. Зажженный с обоих концов, фитиль сгорит за 15 минут, то есть через 45 минут начиная с момента зажигания.

2. Если поджечь один фитиль с одного конца, он сгорит за 1 час. Если поджечь один фитиль с двух концов, он сгорит за полчаса. Если бы можно было зажечь один фитиль с трех концов, то он сгорел бы за треть часа, или за 20 минут, поскольку горение фитиля в трех местах означало бы, что он сгорит в три раза быстрее, чем в случае, если будет гореть с одной стороны.

Однако у фитиля не три, а два конца. Наверное, вам это известно. Тем не менее это препятствие можно обойти. Для этого нужно разрезать фитиль на две части и зажечь одну часть с двух сторон, а другую только с одной стороны. Теперь фитиль горит в трех местах, чего мы и добивались.

Нам требуется, чтобы фитиль всегда горел в трех местах, поэтому, как только одна часть фитиля полностью сгорит, разрежьте оставшийся фрагмент на две части и подожгите их так, чтобы у одной части горели два конца, а у другой только один. Продолжайте делать так до тех пор, пока оставшийся фрагмент фитиля не станет слишком маленьким, чтобы резать его на части. Фитиль будет непрерывно гореть в трех местах до тех пор, пока не сгорит почти полностью, а значит, он сгорит примерно за 20 минут.

60. НЕПРАВИЛЬНАЯ МОНЕТА

Эту задачу впервые сформулировал (и решил) Джон фон Нейман, гениальный математик венгерского происхождения, внесший значительный вклад в каждую область науки, в которой работал, а также открывший некоторые новые научные области.

Орел или решка неправильной монеты не выпадают с вероятностью 50: 50. Тем не менее, если подбросить такую монету дважды, вероятность того, что выпадет орел, а затем решка, равна вероятности того, что сначала выпадет решка, а затем орел. (Формально говоря, если вероятность выпадения орла равна a, а вероятность выпадения решки – b, то вероятность выпадения орла, а затем решки равна a × b; вероятность выпадения решки, а затем орла – b × a, что эквивалентно a × b.) Таким образом, чтобы имитировать поведение правильной монеты с помощью неправильной, нужно обозначить вероятности либо «орел, затем решка» (ОР), либо «решка, затем орел» (РО) и подбросить монету дважды. И вы получите следующие варианты: ОР, РО, ОО или РР. В двух последних случаях, когда монета выпадет дважды одной стороной, проигнорируйте результат и снова подбросьте ее два раза. Остановитесь, если выпадет ОР или РО, но продолжайте подбрасывать в случае выпадения ОО или РР. Вероятность выпадения ОР или РО равна 50: 50, что имитирует результат подбрасывания правильной монеты.