Для римановой дзета-функции важен не только ряд, но и его аналитическое продолжение, придающее функции значения во всех комплексных точках. То же относится и к L-функции, и Дирихле определил подходящее аналитическое продолжение. Приспособив к случаю идеи, которые использовались для доказательства теоремы о распределении простых чисел, он сумел доказать аналогичную теорему о простых числах особых видов. К примеру, число простых чисел вида 5k + 1, меньших или равных x, асимптотически приближается к Li(x)/4; то же относится и к остальным трем случаям 5k + 2, 5k + 3, 5k + 4. Это означает, что простых чисел каждого вида бесконечно много.

Риманова дзета-функция — это особый случай L-функции Дирихле для простых чисел вида 1k + 0, т. е. для всех простых чисел. Обобщенная гипотеза Римана представляет собой очевидное обобщение оригинальной гипотезы: нули любой L-функции Дирихле либо имеют действительную часть, равную 1/2, либо являются тривиальными нулями, действительная часть которых отрицательна или больше единицы.

Если обобщенная гипотеза Римана верна, то верна и обычная его гипотеза. Многие следствия обобщенной гипотезы Римана аналогичны следствиям обычной. К примеру, схожие границы ошибки можно доказать для аналогичных версий теоремы о распределении простых чисел в применении к простым числам любого конкретного вида. Однако обобщенная гипотеза Римана подразумевает много такого, что совершенно отличается от всего, что мы можем вывести из обычной гипотезы Римана. Так, в 1917 г. Годфри Харди и Джон Литтлвуд доказали, что из обобщенной гипотезы Римана следует гипотеза Чебышева, в том смысле, что (буквально) простые числа вида 4k + 3 встречаются чаще, чем числа вида 4k + 1. Согласно теореме Дирихле, оба вида равновероятны в конечном итоге, но это не мешает простым числам вида 4k + 3 выигрывать у чисел 4k + 1, конечно, в правильной игре.

У обобщенной гипотезы Римана есть также важные следствия, имеющие отношение к проверке на простоту, такие как тест Миллера 1976 г., упомянутый в главе 2. Если обобщенная гипотеза Римана верна, то тест Миллера дает нам эффективный алгоритм проверки. Оценка эффективности более поздних тестов тоже зависит от обобщенной гипотезы Римана. Существуют и важные приложения для алгебраической теории чисел. Помните, в главе 7 говорилось, что новое определение идеальных чисел Куммера, данное Дедекиндом, привело к рождению новой фундаментальной концепции — понятия идеала. Разложение на простые множители в кольцах алгебраических целых чисел существует, но может не быть единственным. Разложение идеалов на простые множители работает много лучше: и существование, и единственность гарантированы. Так что имеет смысл заново рассмотреть все вопросы о множителях в терминах идеалов. В частности, существует понятие «простого идеала» — разумной и удобной аналогии простого числа.

Зная это, естественно спросить, есть ли у эйлеровой связи между обычными простыми числами и дзета-функцией аналог для простых идеалов. Если да, то весь мощный аппарат аналитической теории чисел применим к алгебраическим числам. Оказывается, это можно сделать, с глубокими и очень серьезными последствиями. Результат — дзета-функция Дедекинда — по одной такой функции на каждую систему алгебраических чисел. Существует глубокая связь между комплексными аналитическими свойствами дедекиндовой дзета-функции и арифметикой простых чисел в соответствующей системе алгебраических целых чисел. И, разумеется, существует аналог гипотезы Римана: все нетривиальные нули дедекиндовой дзета-функции лежат на критической линии. Понятие «обобщенная гипотеза Римана» теперь включает в себя и это утверждение.

Даже генерализация — еще не конец истории дзета-функции. Она вдохновила ученых на определение аналогичных функций в нескольких других областях математики — от абстрактной алгебры до теории динамических систем. Во всех этих областях существуют еще более масштабные аналоги гипотезы Римана. Некоторые из них даже доказаны. В 1974 г. Пьер Делинь доказал такой аналог для многообразий над конечными полями. Обобщения, известные как дзета-функции Сельберга, тоже удовлетворяют аналогу гипотезы Римана. То же можно сказать о дзета-функции Госса. Однако существуют другие обобщения — дзета-функции Эпштейна, для которых аналог гипотезы Римана неверен. Здесь бесконечное множество нетривиальных нулей лежит на критической линии, но некоторые — нет, что продемонстрировал Эдвард Титчмарш. С другой стороны, эти дзета-функции не имеют эйлеровой формулы в виде произведения и потому не похожи на римановы дзета-функции в аспекте, который вполне может оказаться принципиально важным.

Имеется множество косвенных свидетельств того, что гипотеза Римана — как оригинальная, так и обобщенная — справедлива. Много хорошего следовало бы из истинности этих гипотез. Ни одно из этих следствий за все время не удалось опровергнуть, а ведь сделать это — то же самое, что опровергнуть гипотезу Римана. Но ни доказательства, ни опровержения пока нет. Широко распространено мнение, что доказательство оригинальной гипотезы Римана открыло бы дорогу и к доказательству обобщенного ее варианта. Но на самом деле, возможно, лучше было бы атаковать сразу обобщенную гипотезу Римана во всей ее грозной красе — воспользоваться всем арсеналом доступных на сегодняшний день методов, доказать, а затем вывести оригинальную гипотезу Римана как ее частный случай.

В пользу гипотезы Римана имеется также огромное количество экспериментальных данных — по крайней мере огромное на первый взгляд, пока кто-нибудь не плеснет холодной воды, чтобы остудить горячие головы. По данным Карла Людвига Зигеля, Риман вычислил несколько первых нулей своей дзета-функции, но не стал публиковать результат. Они находятся в точках

Нетривиальные нули всегда располагаются парами, как здесь. Я написал в них, а не 0,5, потому что действительная часть в этих случаях известна точно, выяснена при помощи общих результатов комплексного анализа и известных свойств дзета-функции. То же можно сказать и о компьютерных расчетах, о которых речь пойдет ниже. Они не просто показывают, что нули находятся очень близко к критической линии; они действительно находятся на ней.

В 1903 г. Йорген Грам продемонстрировал численно, что первые десять нулей (т. е. ±-пар) лежат на критической линии. К 1935 г. Титчмарш увеличил число таких нулей до 195. В 1936 г. Титчмарш и Лесли Комри доказали, что первая 1041 пара нулей лежит на критической линии. Это был последний раз, когда подобные расчеты проводились вручную.

Алан Тьюринг больше всего известен тем, что во время войны работал в Блетчли-парке, где участвовал в разгадывании германского кода «Энигма», а также своими работами, заложившими фундамент компьютерных вычислений и искусственного интеллекта. Но, помимо всего этого, Тьюринг интересовался и аналитической теорией чисел. В 1953 г. он открыл более эффективный способ вычисления нулей дзета-функции и определил при помощи компьютера, что первые 1104 пары нулей лежат на критической линии. Свидетельства того, что все нули до некоторого предела лежат на критической линии, множились и множились. Нынешний рекорд, полученный Янником Саутером и Патриком Демишелем в 2004 г., составляет 10 трлн (10¹³). Тем временем математики и компьютерщики проверяли другие диапазоны нулей. На сегодня все без исключения нетривиальные нули, когда-либо кем-либо рассчитанные, лежат на критической линии.