Рис. 139. Волнистая кирпичная стена толщиной 1 м, которая окружала пирамиду Среднего царства в Мазгуне

В эпоху Древнего царства стены мастаб и даже кирпичных крепостей, таких как крепости Иераконполя и Абидоса, снаружи имели облицовку в виде панелей, которая даже в очень древние времена выполнялась с очень большим мастерством (рис. 140). Поскольку имитацию панелей можно увидеть на многих саркофагах Древнего и Среднего царства, благодаря чему они, очевидно, должны были напоминать дома, то следует поискать древние сооружения, облицованные панелями, которые и стали прообразами этих саркофагов. В некоторых гробницах, найденных на додинастических кладбищах Тархана, погребальные камеры были перекрыты, а иногда и облицованы досками. Многие из этих досок имели по бокам отверстия, расположенные в разных местах и имевшие разный вид. Профессор Питри, тщательно изучив эти доски, пришел к выводу, что они были взяты с древних деревянных домов, которые, до определенной степени, были сборно-разборными. Доски в них связывались между собой ремнями, которые вставляли в эти отверстия. Из соединенных таким способом досок делали дома, которые с виду казались облицованными панелями (рис. 140). Мы не знаем, все ли ученые разделяют эту точку зрения, но никто еще не предложил более убедительного объяснения происхождения отверстий в древних досках.

Рис. 140. План участка кирпичной стены, окружающей додинастическую мастабу в Тархане

Рис. 141. Разрез досок, найденных на додинастическом кладбище в Тархане. Здесь видно, каким образом можно было связать доски, чтобы получить стену дома

В Египте, как и в других странах, время от времени изготовляли кирпичи особой формы для различных целей, но недостаток места не позволяет нам описать те формы, которые были найдены археологами. Впрочем, два примера заслуживают особого внимания. В кирпичных пирамидах, построенных поверх гробниц XIX династии в Дра-Абу-ль-Негге в Фивах, у внешних кирпичей в кладке, лежащей в основании пирамиды, края выполнены в форме карниза. В домах эпохи XVIII династии в Эль-Амарне были обнаружены кирпичи в форме четверти круга. Они использовались для сооружения колонн.

Математические расчеты, например вычисление площадей и пропорций зданий, а также углов наклона стен пирамид и насыпей, по которым на эти стены доставлялись необходимые материалы, играли очень важную роль в строительстве любого масштаба, поэтому, прежде чем закончить обзор египетских методов строительства, было бы весьма уместно кратко описать, что мы знаем о математике древних египтян.

Мы получили эти сведения из следующих источников:

а) папируса, датируемого эпохой фараона Аусерра-Апопи, гиксосского правителя. Предполагают, что это копия документа времен фараона Аменемхета III. Сейчас этот источник известен под названием «Папирус Ринд»;

б) документа, известного как «Московский папирус», времен Среднего царства;

в) папирусов XII династии, известных как фрагменты из Кахуна;

г) папируса времен Среднего царства, хранящегося сейчас в Берлине;

д) двух деревянных табличек эпохи Среднего царства, хранящихся сейчас в Каирском музее (номера по каталогу 25367/8);

е) демотического папируса римского периода, содержащего таблицы дробей;

ж) нескольких таблиц дробей византийского периода;

з) коптского остракона с таблицами дробей;

и) «Математического папируса из Ахмима», датируемого VI–IX веками н. э.

К этому следует добавить длинное сатирическое письмо, называемое «Папирус Анастаси I», которое мы уже цитировали (глава 8). Это письмо, хотя и не приводит способов решения проблем, показывает, что египтяне знали, как рассчитать количество кирпичей, необходимых для сооружения наклонной насыпи с внутренними перегородками, а также определить вес обелиска.

Из всех этих документов самым ценным является «Математический папирус Ринд», поскольку он самый полный и освещает самый разнообразный круг вопросов[56].

Перед тем как оценить математические методы египтян, надо рассказать об особенностях их мышления. Они хорошо выражены в следующем высказывании: «Несмотря на то что греки приписывали египтянам мудрость философов, ни один народ не испытывал такого отвращения к отвлеченным размышлениям и не был так чистосердечно предан материальным интересам, как египтяне»[57].

Из всех наук это утверждение больше всего подходит к математике египтян. Профессор Пит пишет об особенностях математического мышления египтянина так: «Он не говорит и не думает о числе «восемь» как об абстрактном числе, он думает о восьми хлебах или восьми овцах. Он вычисляет наклон стороны пирамиды вовсе не потому, что это интересно, а потому, что ему нужно объяснить каменщику, каким образом надо будет обтесывать камень. Если он раскладывает 2/13 на 1/8 + 1/52 + 1/104, то вовсе не потому, что это ему нравится, а просто потому, что рано или поздно он встретится с дробью 2/13 при сложении, а поскольку он не знает, как складывать дроби, чей числитель больше единицы, ему потребуется приведенное выше разложение».

У египтян была десятичная система счисления. Для обозначения единицы, десяти, ста и всех кратных десяти величин, вплоть до миллиона, у них были особые знаки. Целые числа записывались с помощью знаков, повторяемых столько раз, сколько было нужно. Для того чтобы написать, к примеру, число 879, требовалось двадцать четыре иероглифа, хотя в скорописи использовались многочисленные сокращения.

Главная особенность египетской системы счисления заключается в выражении дробей, что делает ее совершенно не похожей на нашу. Дробь изображалась так: знак человеческого рта, который, по-видимому, читался как ре и означал «часть», писался над тем числом, которое мы сейчас назвали бы знаменателем. В египетском языке число, следовавшее за ре, имело порядковое значение, таким образом, ре, написанный над 5, означал «часть пяти», то есть «пятая часть», которая заключала собой ряд аналогичных частей, в сумме образующих число 5. Будучи частью, которой заканчивался ряд того или иного числа, ре в египетской дроби играл роль числителя. Для египетского способа мышления написать ре 4/7 было бы совершенной бессмыслицей, ибо в любой серии частей числа 7 только одна часть может быть одной седьмой, а именно та, которая занимала седьмое место в ряду семи равных частей. Хотя египтянин и мог понять, что означает четыре седьмых, тем не менее выражал дробь 4/7 в виде 1/2 + 1/14. Аналогичным образом, 11/49 выражалось в виде 1/7 + 1/14 + 1/98 или любым другим набором дробей, дающих в сумме то же число.