где т — число суммируемых уровней;

y0 — базисный уровень.

Темп роста данного вида называют параболическим (отсюда обозначение k¯пар), так как он вычисляется по уравнению параболы порядка т. При т = 5 имеем:

Расчет по этому среднегодовому темпу дает сумму выпуска за 5 лет в 8,069 раза больше базисной, т. е. приближение хорошее. В общем виде проблема параболических темпов исследована саратовским статистиком Л.С. Казинцом [8]. Им составлены таблицы, с помощью которых, зная отношение суммы уровней к базисному уровню и число суммируемых уровней т, можно получить k¯пар. Таблица Л.С. Казинца рассчитана на основе нахождения корней уравнения:

Для нашего примера таблица Л.С. Казинца дает среднегодовой темп роста 116,1 % и сумму выпуска в 8,00016 раза больше базисной.

Интересную задачу представляет определение срока, за который ряд с большим средним показателем динамики, но меньшим начальным уровнем догонит другой ряд с большим начальным уровнем, но меньшим показателем динамики. Для абсолютных приростов задача элементарна: имеем один ряд с базисным уровнем yI0 и средним абсолютным приростом Δ¯I; второй ряд с показателями соответственно yII0,Δ¯II, причем yII0 > yI0; Δ¯II < Δ¯I. Уровень первого ряда сравняется с уровнем второго ряда через

(yII0 — yI0)/(Δ¯I — Δ¯II) лет.

Та же задача может быть решена на основе ускорений. Имеем первый ряд с базисным уровнем yI0, базисным абсолютным изменением aI0 и средним ускорением ускорением bI0; второй ряд — с показателями yII0, aII0, bII0. При каком числе n периодов (лет) после базисного уровни рядов сравняются? Тенденции рядов пара

Приравняв правые части уравнений, получим:

Искомый срок n является корнем этого квадратного уравнения. Если, например, имеем:

yI0 = 500; aI0 = +40; b¯I = +2; yII0 = 300; aII0 = +26; b¯II = +3, то

— 200 + (-14)∙n + 0.5∙n2 = 0,

откуда

n = (14 ± √(196 + 400))/2∙5 = 14 ± 24,4.

Второй ряд догонит первый по уровню через 38,4 года; уровни рядов были одинаковы 10,4 года назад. Будущие равные уровни составляют 3510, а прошлые были равны 192.

Если мы хотим найти срок п, через который уровни рядов сравняются, то эту задачу можно решить на основе темпов изменения. Имеем:

т. е. искомый срок равен частному отделения разности логарифмов уровней рядов в базисном периоде на разность логарифмов темпов изменения, только переставленных при вычитании. Обычно и в числителе, и в знаменателе от большего логарифма вычитается меньший. Например, первый ряд имеет: yI0 = 300; k¯ =1,09; второй ряд — yII0 = 100; k¯II = 1,2, тогда:

n = (ln 300 — ln 100)/(ln 1,2 — ln 1.09) = (5,70382 — 4,60517)/(0,18232 — 0.08618) = 11,43.

Через 11,43 года уровень второго ряда сравняется с первым при сохранении экспоненциальных трендов обоих рядов.

Глава 4. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ТЕНДЕНЦИЙ И УРАВНЕНИЙ ТРЕНДА

В главе 2 было рассмотрено понятие о тенденции временного ряда, т. е. тенденции динамики развития изучаемого показателя. Задача данной главы состоит в том, чтобы рассмотреть основные типы таких тенденций, их свойства, отражаемые с большей или меньшей степенью полноты уравнением линии тренда. Укажем при этом, что в отличие от простых систем механики тенденции изменения показателей сложных социальных, экономических, биологических и технических систем только с некоторым приближением отражаются тем или иным уравнением, линией тренда.

В данной главе рассматриваются далеко не все известные в математике линии и их уравнения, а лишь набор их сравнительно простых форм, который мы считаем достаточным для отображения и анализа большинства, встречающихся на практике, тенденций временных рядов. При этом желательно всегда выбирать из нескольких типов линий, достаточно близко выражающих тенденцию, более простую линию. Этот «принцип простоты» обоснован тем, что чем сложнее уравнение линии тренда, чем большее число параметров оно содержит, тем при равной степени приближения труднее дать надежную оценку этих параметров по ограниченному числу уровней ряда и тем больше ошибка оценки этих параметров, ошибки прогнозируемых уровней.

4.1. Прямолинейный тренд и его свойства

Самым простым типом линии тренда является прямая линия, описываемая линейным (т. е. первой степени) уравнением тренда:

y^i = a + b∙ti

где y^i — выровненные, т. е. лишенные колебаний, уровни тренда для лет с номером i;

а — свободный член уравнения, численно равный среднему выровненному уровню для момента или периода времени, принятого за начало отсчета, т. е. для t = 0;

Ь — средняя величина изменения уровней ряда за единицу изменения времени;

ti — номера моментов или периодов времени, к которым относятся уровни временного ряда (год, квартал, месяц, дата).

Среднее изменение уровней ряда за единицу времени — главный параметр и константа прямолинейного тренда. Следовательно, этот тип тренда подходит для отображения тенденции примерно равномерных изменений уровней: равных в среднем абсолютных приростов или абсолютных сокращений уровней за равные промежутки времени. Практика показывает, что такой характер динамики встречается достаточно часто. Причина близких к равномерному абсолютных изменений уровней ряда состоит в следующем: многие явления, как, например, урожайность сельскохозяйственных культур, численность населения региона, города, сумма дохода населения, среднее потребление какого-либо продовольственного товара и др., зависят от большого числа различных факторов. Одни из них влияют в сторону ускоренного роста изучаемого явления, другие — в сторону замедленного роста, третьи — в направлении сокращения уровней и т. д. Влияние разнонаправленных и разноускоренных (замедленных) сил факторов взаимно усредняется, частично взаимно погашается, а равнодействующая их влияний приобретает характер, близкий к равномерной тенденции. Итак, равномерная тенденция динамики (или застоя) — это результат сложения влияния большого количества факторов на изменение изучаемого показателя.

Графическое изображение прямолинейного тренда — прямая линия в системе прямоугольных координат с линейным (арифметическим) масштабом на обеих осях. Пример линейного тренда дан на рис. 4.1.

Абсолютные изменения уровней в разные годы не были точно одинаковыми, но общая тенденция сокращения численности занятых в народном хозяйстве очень хорошо отражается прямолинейным трендом. Его параметры вычислены в гл. 5 (табл. 5.3).

Рис. 4.1. Динамика числа занятых в народном хозяйстве в России