В то же самое время он стал посещать курс лекций Витгенштейна по основаниям математики. И хотя Алан вел свой собственный курс с таким же названием, они во многом были разными. Курс лекций Тьюринга строился на понимании математической логики с точки зрения шахматной игры, в то время как курс Витгенштейна был посвящен философии математики, объясняющей принципы и основы науки.

Занятия Витгенштейна не были похожи ни на какие другие. Так, он установил негласное правило, что ученики его курса обязаны появляться на каждом занятии. Однажды Алан нарушил это правило и получил в результате устный выговор. Он пропустил седьмое занятие, скорее всего, из-за своей поездки в «Клок Хаус», где 13 февраля, на девятую годовщину смерти Кристофера, была открыта новая часовня приходской церкви. Курс лекций был расширен до тридцати одного часа занятий, которые проходили дважды в неделю в течение двух учебных семестров. Курс посещали около пятнадцати слушателей, среди них значился и Алистер Уотсон, и каждому из них пришлось впервые проходить собеседование с Витгенштейнов, которые он проводил в своей комнате в Тринити-Колледже. Во время таких собеседований часто возникали ситуации долгого и неловкого молчания, поскольку Витгенштейн еще больше Алана презирал пустые разговоры не по делу. Во время своего пребывания в Принстоне Алан однажды в разговоре с Венейблом Мартином описал Витгенштейна как «человека весьма своеобразного», поскольку один раз во время их обсуждений логики Витгенштейн заявил, что теперь ему нужно удалиться в другую комнату, чтобы подумать обо всем сказанном.

В глазах других они оба отличались своим аскетизмом и строгостью, а также непринужденностью как в своем отношении к делу, так и во внешнем виде (хотя Алан остался верен твидовым пиджакам, в то время как философ предпочитал носить свой кожаный пиджак). Занимаемые ими должности (Витгентштейн, которому на тот момент исполнилось пятьдесят лет, был назначен профессором философии на место Дж. Мура) не определяли их поведение, поскольку они обладали уникальной индивидуальностью и создавали свою собственную действительность. Они оба интересовались только вопросами фундаментального характера, хотя и взяли разные направления в научном подходе.

И все же Витгенштейн был личностью более яркой. Он родился одной из наиболее известных и богатых семей Австро-Венгерской империи, но после Первой мировой войны пожертвовал все свое состояние, полученное в наследство от отца, на благотворительность, и несколько лет работал учителем в отдаленных деревушках в Нижней Австрии, а также около года провел в полном одиночестве в Норвегии в собственноручно построенной хижине, где работал над своими философскими сочинениями.

Главный интерес Витгенштейна заключался в установлении отношений между математикой и «общеупотребительными словами». К примеру, какое отношение «доказательство» в области чистой математики имеет к слову «доказательство», употребленному в предложении «Доказательство вины Люиса состоит в том, что он был пойман на месте преступления с пистолетом в руке». Как не переставал отмечать Витгенштейн, связь оставалась неясной. Работа Principia Mathematica не решила эту проблему: все еще требовалось, чтобы люди пришли к согласию в том, что имеется в виду под словом «доказательство». Метод Витгенштейна решить эту проблему заключался в том, чтобы задать вопросы, в которых такие слова, как «доказательство», «бесконечный», «число», «правило» составляют предложения о реальной жизни, и показать, что они могут не иметь смысла. Поскольку Алан был единственным значимым математиком среди учеников, к нему относились на занятиях так, будто он нес непосредственную ответственность за все, что когда-либо говорили или делали математики, а он в свою очередь довольно смело приложил все свои усилия, чтобы защитить абстрактные построения чистой математики от критики Витгенштейна.

В частности, у них состоялась длительная дискуссия относительно целой структуры математической логики. В ходе дискуссии Витгенштейн утверждал, что процесс создания логической системы, не допускающей двойного толкования, не имел никакого отношения к тому, что обычно подразумевается под словом «истинный». Он сосредоточил все свое внимание на особенности любой логической системы, которая заключалась в том, что одно единственное противоречие, или одно внутреннее противоречие сделает возможным доказательство любого логического суждения:

ВИТГЕНШТЕЙН: (…) Представим случай с тем, кто говорит неправду. Такая ситуация необычна тем, что может любого привести в замешательство, куда более странная, чем вы можете себе это представить. (…) Поскольку это происходит таким образом: если человек говорит «я лгу», мы говорим, что из этого следует утверждение, что он не лжет, из чего в свою очередь следует, что он лжет, и так далее. И что с того? Вы можете продолжать этот ряд, пока не осипнете. Почему бы и нет? Это не имеет значения. (…) Это лишь бесполезная языковая игра, и почему она должна кого-то так волновать?

ТЬЮРИНГ: Человека приводит в замешательство то, что он обычно использует противоречие в качестве критерия, что он допустил ошибку. Но в таком случае он не может обнаружить, в чем именно заключается его ошибка.

ВИТГЕНШТЕЙН: Да, и более того — ошибки и не существует. (…) так в чем будет состоять вред?

ТЬЮРИНГ: Никакого серьезного вреда не будет, если только ему не найдется какое-нибудь применение, по причине которого может произойти обвал моста или нечто в этом роде.

ВИТГЕНШТЕЙН: … Вопрос состоит в следующем: почему люди избегают противоречий? Легко понять, почему они должны избегать противоречий в распоряжениях, инструкциях и так далее, в областях вне математики. Возникает вопрос: почему они должны избегать противоречий в математике? Тьюринг говорит: «Потому что оно может привести к ошибке в применении». Но ошибки всегда происходят. И если она случается — и мост обваливается — тогда твоя ошибка относится к выбору не того естественного права.

ТЬЮРИНГ: Но вы не можете быть уверены относительно использования своего исчисления, пока вы не убедитесь, что в нем нет скрытого противоречия.

ВИТГЕНШТЕЙН: Как мне кажется, в этом есть огромное заблуждение. (…) Предположим, что я убедил Реса применить парадокс лжеца, и он говорит следующее: «Я лгу, значит я не лгу, значит я лгу, и при этом я не лгу, значит возникает противоречие, значит 2 × 2 = 369». В таком случае нам просто не следует называть это «умножением», вот и все. (…)

ТЬЮРИНГ: Хотя мы и не можем знать, обвалится ли мост при условии отсутствия противоречий, мы можем быть почти уверены, если существуют противоречия, что-то обязательно пойдет не так.

ВИТГЕНШТЕЙН: И все же пока миру не известны подобные случаи.

Но Алана все это не убедило.

Он так и не завершил свое исследование проблемы Скьюза, которое осталось в виде усеянного ошибками и зачеркиваниями рукописного текста, и никогда больше не принимался за ее решение. Вместе с тем он продолжил заниматься более центральной проблемой, а именно — изучением поведения нулей дзета-функции Римана. Теоретическая часть работы, которая включала в себя нахождение и объяснение нового метода вычисления дзета-функции, была завершена и подана на рассмотрение в начале марта. Относительно электрического умножителя Малкольм Макфейл писал: