VI.

Теперь представим себе, что вместо линейки с делениями, обозначающими половины, четверти, восьмые, шестнадцатые и т.д. доли дюйма, в руках у нас линейка с делениями в третьи, девятые, двадцать седьмые, восемьдесят первые и т.д. доли. Другими словами, вместо половинок, половин от половин, половин от половин от половин… у нас нанесены трети, трети от третей, трети от третей от третей и т.д. Будем теперь упражняться в том же, что и раньше, — переносить карандаш сначала на дюйм, потом на треть дюйма, потом на одну девятую, потом на одну двадцать седьмую (рис. 1.11).

Совсем несложно убедиться, что если продолжать такую операцию до бесконечности, то получится полная сумма в 11/2 дюйма. Другими словами,

А можно, конечно, и на нашей новой линейке менять направление движения: направо на дюйм, налево на треть, направо на одну девятую, налево на одну двадцать седьмую и т.д. (рис. 1.12).

Соответствующая арифметика, возможно, не так уж прозрачна, но, как бы то ни было, результат имеет вид

Итак, у нас имеются четыре сходящихся ряда: первый (1.1) подкрадывается слева все ближе и ближе к 2, второй (1.2) приближается к 2/3 попеременно то слева, то справа, третий (1.3) подбирается слева все ближе и ближе к 11/2, а четвертый (1.4) приближается к 3/4 попеременно то слева, то справа. А перед этим мы познакомились с одним расходящимся рядом — гармоническим.

VII.

При чтении математической литературы полезно знать, в какой области математики вы находитесь — какую часть из этого обширного предмета изучаете. Та область, где обитают бесконечные ряды, в математике называется анализом[2]. Обычно считается, что анализ занимается изучением бесконечного, т.е. бесконечно большого и бесконечно малого (инфинитезимального). Когда Леонард Эйлер — о котором будет много всего сказано ниже — в 1748 году опубликовал свой превосходный первый учебник по анализу, он назвал его просто Introductio in analys in infinitorum — «Введение в анализ бесконечного».

Однако понятия бесконечного и инфинитезимального привели в начале XIX века к возникновению серьезных проблем в математике и в конце концов были полностью сметены с дороги в ходе большой реформы математики. В современный анализ эти концепции не допускаются.{A1} Но они застряли в словарном запасе математиков, и в этой книге я нередко буду использовать слово «бесконечность». Надо только помнить, что оно представляет собой просто удобное и выразительное сокращение для более строгих понятий. Каждое математическое утверждение, где присутствует слово «бесконечность», можно переформулировать, не используя этого слова.

Когда мы говорим, что сумма гармонического ряда равна бесконечности, на самом деле имеется в виду, что если задаться сколь угодно большим числом S, то сумма гармонического ряда[3] рано или поздно превысит S. Видите? Никаких «бесконечностей». Во второй трети XIX века анализ был целиком переписан на языке подобного рода. Если какое-то выражение нельзя переписать таким образом, то оно не допускается в современную математику. Далекие от математики люди иногда меня спрашивают: «Раз вы знаете математику, ответьте на вопрос, который меня всегда занимал: сколько будет бесконечность разделить на бесконечность?» На это я могу ответить только: «Вы произносите слова, которые не имеют никакого смысла. Это не математическая фраза. Вы говорите о „бесконечности“ так, как если бы это было число. Но это не число. С таким же успехом вы могли бы спросить „Сколько будет истина разделить на красоту?“ Я ничего не могу по этому поводу сказать. Я умею делить только числа, а „бесконечность“, „истина“, „красота“ — это не числа».

Каково же тогда современное определение анализа? Для наших целей, как мне кажется, подойдет такое определение: это изучение пределов. Понятие предела лежит в основе анализа. Например, все дифференциальное и интегральное исчисление, составляющее наиболее значительную часть анализа, основано на понятии предела.

Рассмотрим такую числовую последовательность: 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, 1393/985, 3363/2378, …. Каждая следующая дробь получена из предыдущей по простому правилу: новый знаменатель равен сумме старого числителя и старого знаменателя, а новый числитель равен сумме старого числителя и удвоенного старого знаменателя. Эта последовательность сходится к квадратному корню из числа 2. Например, возведение в квадрат числа 3363/2378 дает 11309769/5654884, что равно 2,000000176838287…. Говорят, что предел этой последовательности равен √2.