Рассмотрим еще один пример последовательности: 4/1, 8/3, 32/9, 128/45, 768/225, 4608/1575, 36864/11025, 294912/99225, …. Здесь N-й член последовательности получается так: если N четно, то умножаем предыдущий член на N/(N + 1), а если N нечетно, то умножаем предыдущий член на (N + 1)/N. Такая последовательность сходится к числу π. Последняя из приведенных дробей равна 2,972154… (данная последовательность сходится очень медленно).[4] А вот еще пример: 11, (11/2)2, (11/3)3, (11/4)4, (11/5)5, … — эта последовательность сходится к числу, которое примерно равно 2,718281828459. Это необычайно важное число, и мы будем использовать его в дальнейшем.

Стоит заметить, что приведенные только что примеры — это примеры последовательностей, т.е. наборов чисел, записанных через запятую. Это не ряды, члены которых надо складывать. Но с точки зрения анализа ряд — это все-таки слегка замаскированная последовательность. Утверждение «ряд 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + … сходится к 2» математически эквивалентно такому утверждению: «последовательность 1, 11/2, 13/4, 17/8, 115/16, 131/32, … сходится к 2». Четвертый член этой последовательности представляет собой сумму первых четырех членов ряда и т.д. (Название последовательности такого типа на математическом языке — последовательность частичных сумм данного ряда.) Аналогично, утверждение «гармонический ряд расходится» эквивалентно утверждению «последовательность 1, 11/2, 15/6, 21/12, 217/60, 227/32, … расходится». В этой последовательности N-й член равен предыдущему плюс 1/N.

Все это относится к анализу, т.е. к изучению пределов — того, как именно числовая последовательность может приближаться к некоторому предельному числу, никогда точно его не достигая. Когда говорится, что последовательность продолжается неограниченно, имеется в виду, что, сколько бы членов мы уже ни выписали, всегда можно написать следующий. Когда говорится, что последовательность имеет предел, равный a, имеется в виду, что, какое бы малое число x мы ни взяли, начиная с некоторого момента каждый член последовательности будет отличаться от a на величину, меньшую, чем выбранное x. А если вы предпочитаете говорить «Последовательность стремится к бесконечности» или «Предел N-го члена при N, стремящемся к бесконечности, есть a», то вы вправе так выражаться, если вы сами осознаете, что это просто удобная фигура речи.

VIII.

Традиционное деление на дисциплины внутри математики таково.

• Арифметика — наука о целых числах и дробях. Пример теоремы из арифметики: вычитание нечетного числа из четного дает в ответе нечетное число.

• Геометрия — наука о фигурах в пространстве — точках, линиях, кривых, трехмерных объектах. Пример теоремы: сумма углов треугольника на плоскости равна 180 градусам.

• Алгебра — использование абстрактных символов для представления математических объектов (чисел, линий, матриц, преобразований) и изучение правил, по которым эти символы можно комбинировать. Пример теоремы: для любых двух чисел x и y имеет место равенство (x + y)×(x − y) = x2 − y2.

• Анализ — наука о пределах. Пример теоремы: гармонический ряд расходится (т.е. неограниченно возрастает).

Кроме этого, в современной математике есть, конечно, много всего другого. Например, в ней есть теория множеств, созданная Георгом Кантором в 1874 году а есть «основания» — раздел, который в 1854 году усилиями англичанина Джорджа Буля отделился от классической логики и в котором исследуются логические основы всех математических концепций. Сами традиционные категории также разрослись и стали включать в себя целые новые темы — геометрия вобрала в себя топологию, алгебра — теорию игр и т.д. Еще до начала XIX века происходило значительное просачивание из одной области в другую. Например, тригонометрия (само слово было впервые употреблено в 1595 году) содержит в себе элементы и геометрии, и алгебры. В XVII веке Декарт арифметизировал и алгебраизировал значительную часть геометрии (правда, чисто геометрические доказательства в стиле Эвклида сохранили свою популярность до наших дней за их ясность, изящество и остроумие).

Как бы то ни было, четырехчленное деление сохраняет свою роль в качестве первоначальной ориентировки в математике. Эта классификация полезна и для понимания одного из величайших завоеваний математики XIX столетия, о котором мы далее будем говорить как о «великом соединении» — привязывании арифметики к анализу, что привело к созданию совершенно новой области исследований — аналитической теории чисел. Позвольте познакомить вас с человеком, который одной только публикацией статьи объемом в восемь с половиной страниц дал жизнь аналитической теории чисел, успешно развивающейся и поныне.

I.

О Бернхарде Римане известно немного. Он не оставил никаких документов, позволяющих судить о его внутренней жизни, — за исключением того, что можно почерпнуть из его писем. Его современник и друг Рихард Дедекинд оказался единственным близким к Риману человеком, оставившим подробные воспоминания. Но и они занимают всего 17 страниц и проясняют не так много. Я не могу поэтому даже пытаться охватить в дальнейшем изложении всю личность Римана, но все-таки надеюсь, что читатель вынесет из этого рассказа нечто большее, чем просто имя. В данной главе описание научной деятельности Римана и всего, что с ней связано, сведено к минимуму; об этом мы поговорим более подробно в главе 8.

Сначала опишем время и место жизни нашего героя.

II.

Решив, что Французская революция дезорганизовала нацию и сделала французов в силу пробудившихся в них республиканских и антимонархических идей недееспособными, враги Франции попытались извлечь пользу из сложившейся ситуации. В 1792 году огромные силы, в основном состоящие из австрийских и прусских войск, но включавшие и отряд из 15 тысяч французских эмигрантов, двинулись на Париж. К их удивлению, армия революционной Франции оказала сопротивление, навязав наступавшим артиллерийскую дуэль в густом тумане у деревни Вальми 20 сентября того года. Эдвард Кризи в своем классическом труде «Пятнадцать решающих битв в мировой истории» называет это битвой при Вальми.[5] Немцы называют ее канонадой при Вальми. Под тем или иным именем это событие часто берут за отметку, знаменующую начало серии войн, захлестнувших Европу в последующие 23 года. Эти войны известны как Наполеоновские, хотя есть своя логика в том, чтобы называть их (если бы такое название еще оставалось вакантным) Первой мировой войной, поскольку они в том числе включали столкновения в обеих Америках и на Дальнем Востоке. Когда все в конце концов завершилось мирным договором, выработанным на Венском конгрессе (8 июня 1815 года), Европа перешла в другой долгий (почти в столетие) период — период относительного мира.