Стоит упомянуть еще две концепции, связанные с нашим пониманием теории сложности. Первая включает частоту предельных событий по отношению к частоте обычных событий в сложной системе, показанную в виде распределения по уровню. Вторая концепция – это концепция шкалы.

Распределение степеней в виде колокола-кривой, используемое в финансовой экономике, говорит, что обычные события происходят все время, а предельные – почти никогда. Однако колоколообразная кривая – это лишь один вид распределения, есть еще множество других. Распределение степеней по уровням силы, мощности, описывающее множество событий в сложных системах, называется «степенная зависимость». Кривая, соответствующая этой зависимости, показана на рис. 2.

Рис. 2. Кривая, иллюстрирующая распределение степенной зависимости.

Здесь распределение по уровням частоты событий показано на вертикальной оси, а их сила – на горизонтальной. Как и в колоколообразной кривой, предельные события происходят реже, чем обычные. Поэтому кривая снижается, когда двигается вправо. Тем не менее есть несколько важных различий между колоколообразной кривой и степенной зависимостью. Во‑первых, колоколообразная кривая (см. рис. 1) «толще» около вертикальной оси. Это значит, что, согласно ей, обычные события происходят чаще, чем при степенной зависимости. Что еще важнее, кривая степенной зависимости не подходит так близко к горизонтальной оси, как колоколообразная. Хвост кривой продолжается вправо и остается отделенным от горизонтальной оси. Это называется «курдюк», что контрастирует с хвостом колоколообразной кривой. Это значит, что предельные события происходят чаще согласно степенной зависимости.

Телевидение и блоги переполнены дискуссиями про «курдюки», хотя это больше похоже на клише, чем на реальное понимание. Что понимается еще меньше, так это роль шкалы. Кривая, показанная на рис. 2, в какой-то момент завершается. Однако в теории она может продолжаться бесконечно, не касаясь горизонтальной оси. Это продолжение обозначает катастрофы очень малой степени вероятности, например десятибалльное землетрясение, никогда не случавшееся.

Есть ли предел длине хвоста? Да, в каком-то месте курдюк коснется горизонтальной оси. Это место будет пределом системы. Размер самой большой катастрофы в системе ограничен размером самой системы. Примером может послужить активный вулкан на удаленном острове. Вулкан и остров представляют собой комплексную динамическую систему в критическом состоянии. Извержения могут происходить раз в несколько столетий, причиняя вред различной степени. Наконец вулкан полностью извергается и остров тонет, ничего не оставляя на поверхности. Событие будет предельным, но ограниченным размером системы – одним островом. Катастрофа не может быть больше самой системы.

Это хорошая новость. Плохая новость в том, что системы, созданные человеком, все время увеличиваются. Энергосистемы становятся больше, дорожные системы расширяются, в Интернете появляются новые узловые точки. Худшая новость в том, что отношение между катастрофическим риском и шкалой экспоненциально. Это значит, что если размер системы удваивается, то риск увеличивается не в два, а в десять раз. Если система еще раз удваивается, риск увеличивается в сто раз. Если еще раз удвоить размер системы, то риск будет больше в тысячу раз, и так далее.

Финансовые рынки – это непревзойденно сложные системы. Миллионы трейдеров, инвесторов и спекулянтов являются автономными агентами. Эти агенты разнообразны по своим ресурсам, риску и предпочтениям. Кто-то будет рисковать миллиардами долларов, кто-то – всего несколькими сотнями. Эти агенты связаны между собой. Они продают и инвестируют в рамках сети обмена, брокерства, автоматических систем и потоков информации.

Взаимозависимость – это тоже характеристика рынков. Когда в начале августа 2007 года запахло кризисом недвижимости, биржа в Токио резко упала. Некоторые японские аналитики удивлялись, почему кризис недвижимости в США влияет на японскую биржу. Причина была в том, что японские ценные бумаги были нестабильны и их можно было продать, чтобы получить валюту для требований маржи в позициях недвижимости США. Этот вид финансовой инфекции взаимозависит от мести.

Наконец, трейдеры и инвесторы обязаны уметь адаптироваться. Они наблюдают внешнеторговые потоки и групповые реакции, учатся с помощью информации, телевидения, цен на рынке, социальных сетей и лицом к лицу – и реагируют соответственно.

Капитал и валютные рынки представляют собой другую разновидность сложных систем. Эмерджентные свойства можно увидеть в ценовых графиках, которые так любят специалисты. Взлеты и падения, «двойные пики», «плечи и голова» и тому подобные кривые и графики – это примеры эмерджентности, исходящей из сложности всей системы. Фазовые переходы – быстрые предельные изменения – присутствуют в форме провалов и рыночных пузырей.

Большая часть работы на рынках капитала в их качестве сложных систем все еще теоретическая. Однако существует убедительное эмпирическое доказательство, впервые приведенное Бенуа Мандельбротом, что амплитуда и частота некоторых цен на рынке выглядит как распределение по степенной зависимости[57]. Мандельброт показал, что временной график движений цены показывает то, что он называл фрактальным измерением. Фрактальное измерение – это измерение, больше одного и меньше двух, выражаемое как частица типа 1,5. У линии есть одно измерение – длина, у квадрата – два, длина и ширина. Фрактальное измерение 1,5 – это что-то посередине.

Хороший пример – это повсеместно известный график биржи, появляющийся во всех газетах и на финансовых веб-сайтах. График сам по себе состоит более чем из одной линии, там сотни маленьких линий, но он меньше, чем полный квадрат – там очень много пустого места между линиями. Так что он имеет фрактальное измерение между одним и двумя. Непостоянный узор падений и подъемов – это эмерджентное свойство, а острые пики – это фазовые переходы.

Похожая фрактальная модель появляется вне зависимости от того, показывает ли график годы, месяцы, дни или часы, и такие же результаты показывают другие графики – валют и производных рынков. Такие графики показывают движение цен и риск, распределенный согласно степенной зависимости, а модель графика с фрактальным измерением значительно больше одного. Эти черты противоречат нормальному распределению риска и соответствуют степенной зависимости событий в сложных системах. Хотя по этой теории не произведены все нужные исследования, понимание рынков капитала как сложной системы вскоре наступит.

Это снова отодвигает анализ к вопросу об охвате. Какова масштабная линейка валют и рынков капитала и как они влияют на риск? Если катастрофический крах является экспоненциальной функцией шкалы, то каждое увеличение масштаба вызовет увеличение риска. Рынки капитала постепенно увеличивают масштаб, поэтому «черные лебеди» и появляются все в бо́льших количествах и с большей интенсивностью.