Остальные тригонометрические функции определяются по старой схеме (например, tan A = sin A/cos A).

Оси x и y «разрезают» поверхность окружности на четыре сектора-квадранта. Пронумеруем их римскими цифрами по часовой стрелке – I, II, III и IV, – начиная с правой верхней, то есть с диапазона углов от 0° до 90°. Квадрант II, таким образом, охватит диапазон от 90° до 180°, квадрант III – от 180° до 270°, а квадрант IV – от 270° до 360°. Обратите внимание, что в разных квадрантах разные тригонометрические функции будут вести себя по-разному: положительные значения синуса мы получим в квадрантах I и II, косинуса – в квадрантах I и IV, тангенса – в квадрантах I и III. Чтобы это запомнить, некоторые из моих учеников любят повторять «Все студенты таскают калькуляторы» (посмотрите на первые буквы в каждом слове этой «запоминалки»: «в» – «все функции» в квадранте I, «с» – «синусы» в квадранте II, «т» – «тангенсы» в квадранте III, «к» – «косинусы» в квадранте IV).

Ну и еще немного терминологии. Для определения неизвестных значений углов нужны обратные тригонометрические (циклометрические, круговые) функции. Например, обратным синусом 1/2 будет sin–1(1/2)[32]. Такого рода функция говорит нам, что мы имеем дело с неким ∠A, синус которого равен 1/2. А так как мы знаем, что sin 30° = 1/2, получаем

Функция sin–1 (которая также называется арксинусом) всегда даст нам угол в диапазоне от –90° до 90°, но мы-то с вами знаем, что есть и другие углы с тем же значением синуса – синус 150°, например, будет также равен 1/2. То же происходит и с любым кратным 360° значением, прибавляемым к 30° или 150° – синусы будут равны.

Для треугольника с длинами сторон 3, 4 и 5 (см. рисунок) калькулятор может рассчитать ∠A тремя различными способами, каждый из которых будет основан на своей обратной функции:

Самое время применять все эти знания на деле. В «геометрической» главе мы доказали теорему Пифагора, с помощью которой можно вычислить длину гипотенузы прямоугольного треугольника, зная длины его катетов. Здесь же, в главе «тригонометрической», мы можем сделать практически то же самое для любого треугольника. В этом нам поможет закон косинусов.

Теорема (закон косинусов): Длина стороны c любого треугольника ABC, в котором стороны a и b образуют ∠C, соответствует

Для примера взгляните на изображенный ниже треугольник ABC. Между двумя его сторонами с длинами 21 и 26 лежит угол 15°. Согласно закону косинусов, длина третьей стороны с составит

А так как cos 15° ≈ 0,9659, уравнение упрощается сначала до c² = 62,21, а потом и до c ≈ 7,89.