Последствия этого трудно переоценить. Теория групп привела к более абстрактному взгляду на алгебру и заодно на математику. Хотя много ученых-практиков поначалу активно противостояли этому, в итоге стало очевидно, что абстрактные методы зачастую более эффективны, чем конкретные, и противодействие исчезло само по себе. Теория групп также научила исследователей ценить отрицательные результаты и понимать, что упорные поиски доказательств иногда приводят к грандиозным открытиям. Представьте себе, что было бы, если бы математики просто приняли на веру, что уравнения пятой степени не решаются, не потрудившись найти доказательства. Тогда не появилась бы на свет теория групп, объясняющая, почему их нельзя решить. Выбери математики этот путь, смирись с невозможностью решений – и сама математика, и наука в целом были бы бледным подобием того, что есть сейчас.

Вот почему математикам всегда так важно доказательство.

Числа прокладывают путь структурам

Начала появляться новая алгебра, для которой объектами изучения стали не неизвестные числа, а более изощренные концепции: перестановки, преобразования, матрицы. Прошлогодние процессы с наступлением нового года уходили «в архив». Правила алгебры, долгое время остававшиеся незыблемыми, всё чаще нуждались в изменении, чтобы удовлетворить нужды новых структур. Наряду с группами математики взялись за изучение структур так называемых колец и полей, не говоря уже о разных новых видах алгебр.

Стимулы для этого изменения взгляда на алгебры пришли из уравнений в частных производных, механики и геометрии. Это обусловило развитие групп Ли и алгебры Ли. Другим источником вдохновения была теория чисел: здесь алгебраические числа можно было использовать для решения диофантовых уравнений, понимания законов взаимности и даже атак на Великую теорему Ферма. И кульминацией всего происходящего стало доказательство Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлсом в 1995 г.

В 1869 г. норвежский математик Софус Ли подружился с немецким математиком Клейном. Они оба интересовались линейной геометрией – ответвлением проективной геометрии, открытым Юлиусом Плюккером. Ли высказал очень оригинальную идею: мол, теория Галуа для алгебраических уравнений должна иметь аналог для дифференциальных уравнений. Алгебраическое уравнение может быть решено в радикалах, только если обладает необходимыми свойствами симметрии, – это так называемая разрешимая группа Галуа. Ли предположил, что и дифференциальное уравнение может быть решено классическими способами, только если оно остается неизменным в непрерывном семействе преобразований. Ли и Клейн работали над вариантами этой идеи в 1869–1870 гг. Кульминацией стало описание геометрии через инварианты групп, данное Клейном в 1872 г. в его «Эрлангенской программе».

Она стала результатом нового подхода к евклидовой геометрии – с точки зрения симметрии. Жордан уже указал, что симметрии евклидовой плоскости представлены разного рода движениями без деформации тела: переносом, когда плоскость скользит в каком-то направлении; вращениями, которые поворачивают ее вокруг некой фиксированной точки; отражениями, которые переворачивают ее вокруг неподвижной линии, и, что менее очевидно, зеркальными отражениями, которые отражают и затем переносят ее в направлении, перпендикулярном линии зеркала. Эти преобразования образуют евклидову группу, и они жесткие – в том смысле, что они не меняют расстояния между точками. Соответственно, они не меняют и углы. Теперь длины и углы являются основными понятиями евклидовой геометрии. И Клейн понял, что это и есть инварианты для евклидовой группы: величины, которые не меняются, когда группа подвергается преобразованию.