Из-за столь тесной связи между группами Ли и соответствующими им алгебрами классификация простых алгебр Ли ведет к классификации простых групп Ли. В частности, четыре семейства An, Bn, Cn и Dn являются алгебрами Ли для четырех классических семейств групп преобразований. Ими же являются, соответственно, группы всех линейных преобразований в (n + 1) – мерном пространстве, группы поворотов в (2n + 1) – мерном пространстве, симплектическая группа в пространстве с 2n измерениями, что особенно важно в классической и квантовой механике и оптике, и группа поворотов в 2n-мерном пространстве. Несколько заключительных штрихов к этой истории были добавлены позже, в частности введение Гарольдом Скоттом Макдональдом Коксетером и Евгением Дынкиным графического подхода к комбинаторному анализу системы корней, известного сейчас как диаграммы Коксетера – Дынкина.

Группы Ли важны для современной математики по многим причинам. Например, в механике многие системы обладают симметрией, и это позволяет найти решения для динамических уравнений. В основном именно симметрии образуют группы Ли. В математической физике изучение элементарных частиц во многом опирается на математический аппарат групп Ли, опять-таки благодаря определенным принципам симметрии. Исключительная группа Киллинга Е8 играет важную роль в теории суперструн – основополагающем направлении в поисках связей между квантовой механикой и общей теорией относительности. Сделанное Саймоном Дональдсоном в 1983 г. эпохальное открытие о том, что четырехмерное евклидово пространство обладает нестандартными дифференцируемыми структурами, открывает новый взгляд на группы всех поворотов Ли в четырехмерном пространстве. Теория групп Ли по-прежнему жизненно важна для всех отраслей математики.

В «Эрлангенской программе» Клейна особый упор делается на то, что исследуемые группы состоят из преобразований, т. е. элементы группы действуют в некотором пространстве. И большая часть ранних работ по теории групп предполагает такую структуру. Но более поздние исследования потребовали нового уровня абстрагирования: сохранить свойства группы, но отказаться от понятия пространства. Группа состоит из математических объектов, которые могут быть объединены для получения аналогичных объектов, но они не обязательно должны быть преобразованиями.

Это могут быть числа. Два числа (целые, рациональные, действительные, комплексные) могут быть сложены, и результатом также станет число такого же вида. Числа образуют группу с помощью операции сложения. Но число – не преобразование. Несмотря даже на роль групп как преобразований, объединивших геометрии, от понятия связанного с ними пространства лучше отказаться, чтобы объединить теорию групп.

Одним из первых математиков, решившихся предложить такой шаг, стал Артур Кейли в трех своих статьях от 1849 и 1854 гг. Он говорил, что группа содержит набор операторов 1, a, b, c и т. д. Объединение ab двух любых операторов должно быть другим оператором; особый оператор 1 удовлетворяет условию 1a = a и a1 = a для всех операторов a; ассоциативный закон (ab)c = a(bc) должен сохраняться. Но его операторы по-прежнему опирались на что-то еще (множество переменных). Кроме того, он пропустил решающее условие: для любого a должно быть обратное a´, такое, что a´a = aa´ = 1. Так Кейли хотя и подобрался к призу, но промахнулся на волосок.

В 1858 г. Рихард Дедекинд позволил членам группы быть произвольными сущностями, а не только преобразованиями или операторами, однако включил в свое определение коммуникационный закон ab = ba. Эта идея отлично послужила для его цели – теории чисел, но оставляла в стороне самые любопытные группы в теории Галуа, не говоря о более широком математическом мире. Современная концепция абстрактной группы была предложена Вальтером фон Диком в 1882–1883 гг. Он допускал обратимость, но отрицал необходимость закона коммутативности. Полноценный аксиоматичный подход к группам появился позже, в 1902 г., благодаря Эдуарду Хантингтону, Элиакиму Муру (1902) и Леонарду Диксону (1905).

С абстрактной структурой группы отделились от конкретной интерпретации, и их теория стала стремительно развиваться. Ранние исследования по большей части касались частных случаев: ученые, заинтересовавшиеся примерами отдельных групп или каких-то особых их типов, старались выявить их общие черты. Необходимые в этой области основные понятия и методы появились на удивление быстро, и теперь эта тема процветает.

Еще одним источником новейших алгебраических идей стала теория чисел. Начало ей положил Гаусс, представив ученым то, что сейчас называется гауссовыми целыми числами. Это были комплексные числа a + bi, где a и b целые числа. Сумма и произведение этих чисел имеют такой же вид. Гаусс открыл, что понятие простых чисел обобщается на гауссовы целые числа. Они простые, если не могут быть выражены как произведение других гауссовых целых чисел, за исключением тривиальных случаев. Разложение гауссовых целых чисел на простые множители уникально. Некоторые из простых чисел, например 3 и 7, остаются простыми, даже если выражены через гауссовы простые числа, другие – нет: например, 5 = (2 + i)(2 – i). Этот факт тесно связан с теоремой Ферма о простых числах и их представлении как суммы двух квадратов, причем гауссовы простые числа иллюстрируют эту теорему и родственные ей.

Если мы разделим одно гауссово целое число на другое, полученный результат окажется не обязательно гауссовым целым числом, но, по крайней мере, близким к нему: он будет иметь вид a + bi, где a и b – рациональные числа. Это и есть гауссовы числа. Используя более общий подход, ученые, занимающиеся теорией чисел, открыли, что происходит нечто одинаковое, если мы возьмем любой многочлен p(x) с целыми коэффициентами и затем рассмотрим все линейные комбинации a1x1 + … + anxn от его корней x1, …, xn. Положим, что a1, …, an – рациональные числа, тогда мы получаем систему комплексных чисел, которая замкнута относительно сложения, вычитания, умножения и деления; это значит, что, когда эти действия применяются к такому числу, в результате получается число подобного же рода. Такая система представляет собой поле алгебраических чисел. Если же вместо этого мы потребуем, чтобы a1, …, an были целыми, то система станет замкнутой относительно сложения, вычитания и умножения, но не деления: тогда мы получим кольцо алгебраических чисел.

Самым знаменитым приложением этих новых числовых систем стала Великая теорема Ферма – утверждение о том, что уравнение Ферма, xn + yn = zn, не имеет целочисленного решения, если n равно или больше 3. Никому не удавалось восстановить якобы найденное Ферма «чудесное доказательство», и чем дальше, тем больше было сомнений в том, что он в принципе его создал. Но был достигнут и некоторый прогресс. Ферма нашел доказательство для третьей и четвертой степеней, Петер Лежён Дирихле в 1828 г. преодолел пятую степень, Анри Лебег нашел доказательство для седьмой степени в 1840 г.