В определении через абстракцию определяемое выступает как нечто (х), которое остается инвариантным при некоей группе преобразований, без прямого определения того, что оно в своей специфичности есть.

Вместо того чтобы определить позитивное содержание понятия через внутренние закономерные соотношения сторон или свойств соответствующего явления и показать его инвариантность по отношению к признакам, от которых абстрагируются, при определении через абстракцию понятие характеризуется его независимостью (инвариантностью) по отношению к тому, от чего абстрагируются. Специфику этого и возможность другого, генетического, конструктивного пути можно уяснить себе на примере числа.

Через абстракцию число определяется посредством равночисленности исчисляемых множеств. Другой путь его определения – конструктивный – осуществляется исходя из единицы по принципу полной индукции. При таком обосновании числа числа выступают в своих внутренних взаимоотношениях как упорядоченные множества, посредством которых при счете упорядочивается и исчисляемое. Каждое число определяет численность множества (а не наоборот, как при определении числа через абстракцию). При этом специально показывается, что результат счета не зависит от порядка, в котором он производится (таким образом инвариантность по отношению к несущественным внешним отношениям обосновывается исходя из закономерности внутренних отношений). Определение числа через равночисленность соотносимых множеств (при определении через абстракцию) скрыто предполагает упорядочение самих соотношений и, значит, соотносимых множеств. При определении через абстракцию утверждается определенность числа посредством равночисленных множеств, но этим не вводятся индивидуально определенные числа.

При таком определении понятие является неким х, определенным лишь постольку, поскольку оно должно отвечать известным условиям – инвариантности при некоторых преобразованиях внешних по отношению к нему свойств, от которых понятие должно быть отвлечено; оно лишено каких-либо собственных («внутренних») определений (в переменную здесь таким образом превращают не то частное, внешнее, привходящее, от чего абстрагируют, а общее). Поэтому посредством определения через абстракцию при таком ее понимании создается «формальная» система, безразличная к внутреннему содержанию, к свойствам объектов, о которых идет речь. Поэтому, например, Вейль, вообще не стоящий на позициях формализма, говоря об определении через абстракцию, в этой связи заявляет: «Математику совершенно безразлично, что такое круги» (Es ist fur den Mathematiker ganz gleichgultig, was Kreise sind)[179]. Ясно, что такое утверждение ведет к открытому формализму. Конечный смысл этого утверждения применительно к математике выразил Рассел в своем известном афоризме: «математика – это наука, в которой мы не знаем, ни о чем мы говорим, ни того, истинно ли то, что мы утверждаем». (О второй части этого положения см. дальше.)

Идя далее таким путем, в конечном счете приходят к представлению об обособленном существовании, с одной стороны, эмпирических объектов, с другой – идеальной области понятий. Понятия, определяемые через абстракцию вышеуказанным способом, отталкиваясь от эмпирических вещей, не являются в собственном смысле слова познанием этих вещей. Они в лучшем случае – рабочий аппарат (совокупность инструментов), которым пользуются при познании и о котором можно разве сказать, что им удобно или экономно работать, но нельзя утверждать, что он истинен.

Не приходится, значит, отождествлять специальную форму определения через абстракцию с общим положением о роли абстракции в научном познании. В абстракции, о которой выше шла речь, на передний план выступает ее позитивная сторона – то, что абстрагируют в его закономерных внутренних взаимосвязях и взаимозависимостях независимо от внешних обстоятельств. Так, в отношении газа – на передний план выступает постоянное отношение между давлением и объемом. Поскольку оказывается, что это соотношение остается постоянным при неизменной температуре и нарушается при ее изменении, в формулировке закона (Бойля – Мариотта) уравнивают температуру, т. е. абстрагируются от ее изменений, с тем чтобы затем определить эффект изменения температуры, абстрагируясь от изменения давления, связанного с изменением температуры (в результате приходят к закону Гей-Люссака).

Всякое определение понятий связано с выявлением инвариантных свойств и отношений (точнее, свойств в их отношениях), но на передний план в нем могут выступать инвариантные закономерные взаимоотношения свойств внутри того, что абстрагируется. (Внутренние закономерности – это и есть закономерные соотношения внутри того, что абстрагируется; внешним по отношению к ним является то, от чего абстрагируются.) Так как научная абстракция имеет, как мы видели выше, свое основание в природе самих вещей и явлений действительности, то и членение того, что абстрагируется из явлений и фиксируется в понятиях о них, и того, от чего при этом абстрагируются, т. е. внутреннего и внешнего, выражает структуру самой объективной реальности, и, значит, имеет «онтологическое» основание.

Строгие научные понятия точных наук строятся на основе внутренних закономерностей изучаемых явлений и имплицитно их выражают. Возникающие в результате абстракции научные понятия не образуют поэтому области, обособленной от явлений. Научные понятия являются их познанием. Менее всего наука, идущая путем абстракции, неразрывно связанной с анализом, может сказать, что ей «безразлично», что есть изучаемые ею явления. Наоборот, ответить на этот вопрос, раскрыть природу изучаемых явлений в их закономерных взаимосвязях и взаимозависимостях – такова как раз задача научного познания. К ее разрешению и ведет научная абстракция, приводящая к научным обобщениям, выражаемым в научных понятиях.

Можно выделить три основных пути обобщения. Первый путь —элементарное эмпирическое обобщение, которое совершается в результате сравнения посредством выделения тех общих (схожих) свойств, в которых сходятся сравниваемые явления. Это локковское обобщение. Такое обобщение, во-первых, не гарантирует того, что общее, выделяемое таким образом, является вместе с тем и существенным для данных явлений, как это должно быть в научных обобщениях. Такой путь может быть практически использован и фактически используется на начальных стадиях познания, пока оно не поднимается до уровня теоретического знания. Поскольку существенное в явлениях определенного рода необходимо является общим для них, общее может быть эвристически использовано как индикатор существенного. Однако из того, что существенное закономерно является общим, не следует, что общее необходимо существенно; в этом прежде всего заключается ненадежность, а значит, несовершенство такого обобщения. Во-вторых, такое обобщение есть лишь отбор из числа эмпирически, непосредственно, чувственно данных свойств; оно не способно поэтому привести к открытию чего-либо сверх того, что дано непосредственно, чувственно. В-третьих, наконец, общее, к которому приходят таким образом, остается в пределах эмпирических констатаций. В отличие от обобщения путем анализа и абстракции, оно не создает возможности выведения строгих законов, характеризующих точные науки.