Формальные системы в специфическом смысле слова возникают в результате обобщения отношений. Обобщения по отношению есть уже при элементарном (первосигнальным) обобщении – при генерализации. Генерализацией по отношению является, например, генерализация по прерывистости звука (пользуясь примером, к которому прибегал Павлов[184]). Это в принципе такая же генерализация, как генерализация по громкости, тембру или любому другому качеству звука, но только, как отмечал Павлов, более сильная. Она открывает более широкие возможности для обобщения, чем генерализация по тому или иному свойству. В то время как генерализация по тому или иному свойству распространяется только на различные значения этого свойства, генерализация по отношению (например, по прерывистости звука) распространяется сразу на все значения разных свойств соответствующих объектов (звуков), стоящих в данных отношениях (прерывистости). Обобщение по свойству всегда совершается как бы в одном измерении, обобщение по отношению – многомерно: оно всегда совершается сразу в нескольких измерениях, распространяется на области, состоящие из значений разных свойств. В частности, генерализованное отношение по прерывистости звука переносится на звуки любой громкости, тембра и т. п.; оно, следовательно, шире генерализации по какому-либо свойству звука (например, его громкости); однако ничего «формального» в формалистическом смысле прерывистость звука, его ритма в себе не заключает. Это такое же явление, как сам звук или любое из его свойств.

Нечто аналогичное есть и в сфере понятийного (второсигнального) обобщения. И здесь – в силу вышеуказанных оснований – обобщение по отношению предметов мысли шире, чем обобщение по любому из их свойств; оно может заключать в себе обобщение по ряду параметров, охватывая разные значения всех их свойств. В качестве формального по преимуществу выступает именно знание, основанное на генерализации отношений. Формальная система, основанная на генерализации отношений между теми или иными объектами, абстрагируется от всех свойств объектов, не включает их в эксплицитной форме в свой состав. Однако в такой дедуктивной системе объекты – члены этих генерализованных отношений – не выпадают вовсе, они представлены в ней посредством неопределенных терминов в виде переменных. Пока на место этих переменных в качестве их значений не подставлены определенные объекты, ни одно из звеньев такой дедуктивной системы не представляет собой суждений, положений, о которых можно сказать, что они истинны или неистинны[185]. Это лишь так называемые «пропозициональные функции», которые становятся суждениями, истинными или ложными положениями, вообще приобретают «смысл», т. е. мыслительное содержание, только тогда, когда они относятся к определенным объектам. На место неопределенных терминов, фигурирующих в качестве членов генерализированных отношений дедуктивной системы, можно подставить разные объекты, но нельзя не подставить никаких. Формальная дедуктивная система – это, следовательно, еще вообще не знание, а только остов знания.

Форма всегда предполагает то или иное содержание. Для того чтобы уяснить себе различие между логикой, имеющей дело с содержательной формой мысли, и логикой формальной стоит сравнить, например, понятие импликации в аристотелевской логике, которая не была формальной логикой в том смысле, какой этот термин приобрел после Канта, с понятием импликации в современной символической логике. В аристотелевской силлогистике отношение импликации или следования (X —> Y) (если суждения P 1и P 2истинны, то истинно и суждение Р3), т. е. соотношение истинности двух или нескольких суждений основывается на взаимосвязи их содержания. Иначе обстоит дело в современной символической логике. Так, например, Гильберт и Аккерман вводят соотношение X—> Y («если X, то Y»), но тут же они поясняют: «Соотношение „если X, то Y“ не следует понимать как выражение для отношения основания и следствия. Напротив, высказывание X—> Y истинно всегда уже в том случае, когда Х есть ложное или же Y – истинное высказывание. Так, например, следующие высказывания следует считать истинными.

Если „дважды два равно 4“, то „снег бел“.

Если „дважды два равно 5“, то „снег бел“.

Если „дважды два равно 5“, то „снег черен“.

Ложным же было бы высказывание: если „дважды два равно 4“, „то снег черен“[186]. Отношение X—> Y означает здесь высказывание, которое ложно в том и только в том случае, когда Х истинно, а Y ложно.»[187]

Сформулированное таким образом отношение импликации легко представить формалистически – как вовсе независимое от содержательного отношения суждений, которые в него входят. На самом деле импликация в современных аксиоматизированных системах логики представляет собой генерализацию отношений, заключенных в обычной аристотелевской импликации – как отношений основания и следствия. (Общим для отношения X —> Y в понимании, например, Гильберта и для отношения основания и следствия является то, что как в одном, так и в другом случае при истинности Х истинным должно быть и Y.) В результате генерализации понятие импликации и абстрагируется от ряда первоначальных его свойств.

Такой аксиоматический анализ понятия импликации, как и других понятий логики, правомерен и важен. Неверен не он, а формалистическое толкование его результатов, согласно которому понятие импликации, корни которого – в содержательных отношениях суждений, связанных с отношениями основания и следствия, вовсе отрывается от всякого содержания.