Мы только что видели, как можно получить две из трех перечисленных геометрий: они возникают на сфере и на плоском торе. В терминах теоремы классификации это торы рода g для g = 0 и 1. Единственное, чего у нас пока не хватает, это гиперболической геометрии. Может быть, каждый тор с g дырками обладает естественной геометрической структурой, основанной на том, что в гиперболическом пространстве взяли некий многоугольник и отождествили у него некоторые стороны? Ответ поразителен: «да» для любой величины g, большей или равной 2. На рис. 40 показан пример для g = 2 на основе восьмиугольника. Я опущу гиперболическую геометрию и идентификацию этой поверхности как двумерного тора, но скажу, что разобраться в этом можно. Различные g возникают, если мы берем разные многоугольники, но исключений нет — можно получить любой g. Используя профессиональную лексику, скажем, что тор с двумя и более дырками имеет естественную гиперболическую структуру. Теперь можно пересмотреть список стандартных поверхностей:

• сфера: g = 0 — эллиптическая геометрия;

• тор: g = 1 — евклидова геометрия;

• тор с g дырками: g = 2, 3, 4… — гиперболическая геометрия.

Может показаться, что мы выплеснули с водой и ребенка, ведь топология должна иметь дело с геометрией на резиновом листе, а не с жесткой геометрией. Но теперь мы легко можем вернуть резину на место. Жесткая геометрия используется здесь только для того, чтобы определить стандартные поверхности. Она позволяет дать простые описания, которые оказываются еще более жесткими. А теперь ослабим жесткость, т. е. позволим пространству стать резиновым и разрешим деформироваться, что невозможно при жесткой структуре. При этом мы получим поверхности, топологически эквивалентные стандартным, но не получаемые из них путем жестких сдвигов. Согласно теореме о классификации, таким образом можно получить любую топологическую поверхность.

Топологи знали о существовании такой связи между геометрией и теоремой о классификации поверхностей, но в то время она представлялась забавным совпадением, дающим, несомненно, весьма ограниченные возможности в двух измерениях. Все понимали, что трехмерный случай намного богаче и, в частности, пространствами постоянной кривизны его возможности не исчерпываются. Но понять, что жесткая геометрия может оказаться полезной при рассмотрении трехмерной топологии, сумел лишь Уильям Терстон — один из лучших геометров мира. Несколько указаний на это уже имелось: трехмерная сфера Пуанкаре, исходя из ее определения, обладает естественной эллиптической/сферической геометрией. Хотя стандартный додекаэдр обитает в евклидовом пространстве, угол между его смежными гранями меньше 120°, так что три таких угла не образуют полной окружности. Чтобы исправить это, нам придется слегка надуть додекаэдр, чтобы его грани стали немного выпуклыми: это сразу превращает естественную геометрию фигуры из евклидовой в сферическую. Аналогично, треугольники на сфере тоже становятся выпуклыми. Трехмерный тор, полученный путем отождествления противоположных граней куба, обладает плоской, т. е. евклидовой, геометрией, в точности так же, как его двумерный аналог. Макс Ден и другие исследователи открыли несколько трехмерных топологических пространств, обладающих естественной гиперболической геометрией.

У Терстона появились первые подозрения о возможности существования общей теории, но, чтобы она обрела хотя бы относительную правдоподобность, требовались два нововведения. Во-первых, необходимо было расширить диапазон трехмерных геометрий. Исходя из здравого смысла, Терстон сформулировал некоторые условия и выяснил, что им удовлетворяет ровным счетом восемь геометрий. Три из них — это классика: сферическая, евклидова и гиперболическая геометрия. Еще две напоминают цилиндры: плоские в одном направлении, изогнутые в двух других. Изогнутая часть имеет либо положительную кривизну, как у двумерной сферы, либо отрицательную, как у гиперболической плоскости. Наконец, есть еще три, достаточно формальные, геометрии.

Во-вторых, было ясно, что некоторые трехмерные пространства не поддерживают ни одну из восьми геометрий. Но нашелся и выход: разрезать пространство на куски. Один кусок, возможно, обладает сферической геометрической структурой, другой — гиперболической и т. д. Чтобы разрезание было полезным, его надо проводить по очень строгим правилам, чтобы обратный процесс — собирание кусков в единое целое — позволил получить полезную информацию. Хорошей новостью стало то, что во многих случаях это возможно. В 1982 г. Терстон в приступе вдохновения сформулировал гипотезу о геометризации: любое трехмерное пространство может быть разрезано на куски, каждый из которых обладает естественной геометрической структурой, соответствующей одной из восьми возможных геометрий. Он доказал также, что если его гипотеза о геометризации верна, то гипотеза Пуанкаре окажется простым ее следствием.

Тем временем появилось и второе направление атаки, тоже геометрическое и тоже основанное на кривизне, но исходящее из совершенно иной области: математической физики. Гаусс, Риман и целая школа итальянских геометров создали общую теорию искривленных пространств, получивших название многообразий, причем концепция расстояния у них необыкновенно расширила и евклидову, и классическую неевклидову геометрию. Кривизна уже не обязана быть постоянной: она может плавно меняться от одного конца к другому. К примеру, фигура, напоминающая собачью косточку, имеет положительную кривизну на концах, но отрицательную посередине, и величина кривизны изменяется плавно от одного участка к другому. Кривизна квантифицируется при помощи математических инструментов, известных как тензоры. Около 1915 г. Альберт Эйнштейн понял, что тензоры кривизны — это именно то, чего ему не хватало для расширения специальной теории относительности, описывающей пространственно-временные отношения, до общей теории относительности, включающей также и гравитацию. В этой теории гравитационное поле представлено как кривизна пространства, а эйнштейновы уравнения поля описывают, как соответствующая мера кривизны — тензор кривизны — изменяется в зависимости от распределения материи. В результате кривизна пространства плывет со временем; вселенная или некая ее часть спонтанно меняет форму.

Ричард Гамильтон, специалист по римановой геометрии, понял, что тот же фокус можно применить в более общем плане и что результатом этого может стать доказательство гипотезы Пуанкаре. Идея состояла в том, чтобы работать с одной из простейших мер кривизны, именуемой кривизной Риччи в честь итальянского геометра Грегорио Риччи-Курбастро. Гамильтон записал уравнение, определявшее, как кривизна Риччи должна изменяться со временем: уравнение потока Риччи. Согласно этому уравнению, кривизна должна была постепенно перераспределиться и стать как можно более равномерной. Картина немного напоминает кошку под ковром из главы 4, но теперь кошка, хотя и не может сбежать, способна растечься по полу ровным слоем. (Говоря иначе, кошка здесь должна быть топологической.)

К примеру, в двумерном случае начнем с грушевидной поверхности (см. рис. 41). На одном конце она имеет область сильной положительной кривизны. Область на другом, более толстом конце тоже положительно искривлена, но не так сильно, а в промежутке грушу опоясывает область с отрицательной кривизной. По существу, поток Риччи переносит кривизну с сильно искривленного конца (и в меньшей степени с другого конца) в отрицательно искривленную область до тех пор, пока вся отрицательная кривизна не будет поглощена. На этой стадии результат — бугристая поверхность с повсеместно положительной кривизной. Поток Риччи продолжает перераспределять кривизну, забирая ее из сильно искривленных областей и перенося в менее искривленные. Время идет, и поверхность становится все ближе и ближе к той единственной форме, что имеет постоянную положительную кривизну, т. е. к евклидовой сфере. Топология остается прежней, хотя форма, если посмотреть подробнее, меняется. Следуя потоку Риччи, можно доказать что первоначальная грушевидная поверхность топологически эквивалентна сфере.