Благодаря этим трем великим переводчикам основные работы аль-Хорезми сохранились на латинском языке, в то время как почти все арабские оригиналы исчезли. Эти копии наряду с двумя оригиналами дают нам возможность изучить достижения аль-Хорезми наиболее тщательно.

Обратившись впервые к «Книге о восстановлении и противопоставлении», больше известной как «Алгебра», вы будете поражены тем, как аль-Хорезми определял свою читательскую аудиторию. Он писал эту книгу не для ученых, а для практиков, поэтому старался включить в нее «то, что является самым легким и наиболее полезным в арифметике, то, что людям постоянно необходимо в случаях с наследованием имущества, разделом, судебными исками и торговлей, а также во всех их сделках друг с другом или при измерении земель, создании каналов, других объектов разного вида и геометрических вычислениях»[479].

Он знал, что невозможно завладеть вниманием читателей с помощью страниц, заполненных техническими манипуляциями с символами и числами, если они не понимают смысла, лежащего в их основе. Шестьюстами годами ранее греческий математик Диофант сделал прорыв, изобретя математические символы[480], и либо аль-Хорезми не знал об этом, либо, что более вероятно, он не счел их полезными для своих более практических целей. Вместо этого он предпочел говорить о дирхемах, денежной единице Аббасидов. Что более важно, практическая и педагогическая задачи привели аль-Хорезми к тому, что он написал «Алгебру» без единой цифры числа или уравнения. Его текст получился таким простым, что он с первых страниц поглощает читателей из любой области.

Как, например, вы поделите наследство, когда после умершего остались вдова и трое сыновей и он хотел бы, чтобы все сыновья вместе получили две трети суммы для вдовы, а старший сын получил в два раза больше той суммы, которая предназначалась каждому из братьев? Возьмем другой пример, включающий рабов (он описал более десятка проблем такого рода): предположим, что больной человек освобождает рабыню, а та заплатила за свое освобождение. Но затем рабыня умирает прежде своего хозяина, оставив двоих детей, один из которых должен получить треть суммы, причитающейся другому. Кто кому и что должен?[481] На всем понятном языке аль-Хорезми объяснил процесс, с помощью которого простые уравнения могут быть составлены и решены, а затем перешел к описанию другой проблемы, для решения которой требовалось квадратное уравнение.

«Алгебра» аль-Хорезми обращается к двум основным процессам, которые он назвал «восстановление» и «противопоставление». Восстановление – это процедура, известная сегодня каждому школьнику, с помощью которой отрицательные члены вычитаются из обеих частей уравнения. Противопоставление – это процесс уменьшения положительных членов, которые находятся в обеих частях уравнения. Например, х#2 = 40х – 4x#2 уменьшается и приводится к 5x#2 = 40х. Переходя от простого к сложному, аль-Хорезми пошел дальше – к шести различным типам линейных и квадратных уравнений (квадраты равны корням, квадраты равны числам и т. д.), предложив простые, но эффективные процессы для решения каждого из них.

В некотором отношении аль-Хорезми не был новатором. Древние китайцы обнаружили метод решения линейных уравнений, а древние вавилоняне понимали квадратные уравнения. Аль-Хорезми сам преклонялся перед греческими мыслителями и индийским математиком Брахмагуптой (598–668), который решил несколько категорий линейных уравнений почти на два века раньше. Но метод Брахмагупты не прижился, как и методы других древних математиков. Причина этого в том, что все они заслоняли алгебру другими областями математики – геометрией в случае с греками или теорией чисел в случае с Брахмагуптой[482]. Великим достижением аль-Хорезми было выделение алгебры как отдельной науки, объяснение ее с поразительной ясностью и предложение оригинальных решений для ряда важных проблем. В целом он трансформировал алгебру в то, что два шотландских историка математики Джон О'Коннор и Эдмунд Робертсон описывают так: «…единая теория, которая позволила рассматривать рациональные числа, иррациональные числа, геометрические величины и т. д. как „алгебраические объекты“. Она давала математике абсолютно новый путь развития… намного шире того, что существовал ранее»[483]. И хотя начальные уравнения аль-Хорезми могут поразить нас своей элементарностью, они были «первой попыткой алгебраических вычислений как таковых» и непосредственно привели к появлению теории квадратных уравнений, алгебраическим вычислениям, неопределенному анализу и применению алгебры для решения многих практических задач[484]. Это поразительное новшество открыло перспективы для будущего[485]. Оно стало крепкой основой, на которой строилась дальнейшая наука.

В отдельной неназванной работе по математике аль-Хорезми изложил доводы для принятия десятичной системы индийских чисел и представил правила по использованию ее в математике. Перевод этой работы на латинский язык, выполненный Аделардом Батским, начинается с фразы «Dixit Algoritmi», или «Так говорил аль-Хорезми». Из-за этого средневековые мудрецы, которые наталкивались на эту «новую математику», в противоположность использованию старых римских чисел, которые были бесполезны для вычислений, называли себя «алгоритмистами»[486]. То, что аль-Хорезми использовал индийские числа, рассматривается как апология для математики как таковой, и именно в этой роли его имя стало навсегда связано с алгоритмами[487].