Его публикации во время пребывания в Кембридже готовились под влиянием общения с Харди и были написаны в традиционном стиле, со строгими доказательствами. Результаты, записанные в его блокнотах, выглядят совершенно иначе. Поскольку он был самоучкой, представления о доказательстве у него были совсем не строгие. Для Рамануджана было достаточно, если при помощи численных данных пополам с формальными рассуждениями он мог получить правдоподобный вывод – и при этом интуиция говорила ему, что ответ верен. Как правило, его результаты были верны, но в доказательствах часто имелись пробелы. Иногда эти пробелы мог заполнить любой компетентный математик, а иногда для этого требовались нестандартные аргументы. В редких случаях в его результатах обнаруживалась ошибка. Берндт утверждает, что, если бы Рамануджан «мыслил как хорошо подготовленный математик, он не стал бы записывать многие из тех формул, которые он, по собственному мнению, доказал» и математика от этого серьезно пострадала бы.

Хорошим примером может служить результат, который Рамануджан называл своей «мастер-формулой»[28]. Его доказательство включает в себя разложения в ряд, смену порядка суммирования и интегрирования и другие аналогичные приемы. Поскольку он использует при этом бесконечные процессы, каждый его шаг сопряжен с опасностью. Величайшие аналитики почти весь XIX век разбирались, когда подобные процедуры допустимы. Условия, которые, по Рамануджану, делают его формулу верной, чрезвычайно недостаточны. Тем не менее почти все результаты, которые он выводит из своей мастер-формулы, верны.

* * *

Часть самых поразительных работ Рамануджана относится к теории разбиений – одного из разделов теории чисел. Взяв некоторое натуральное число, мы спрашиваем, сколькими способами его можно разбить на слагаемые, то есть записать в виде суммы меньших натуральных чисел. К примеру, число 5 можно разбить на слагаемые семью разными способами:

Следовательно, число разбиений числа 5 составляет p(5) = 7. Величина p(n) стремительно растет с ростом n. К примеру, p(50) = 204 226, а p(200) равно внушительному 3 972 999 029 388. Простой формулы для p(n) не существует. Однако можно поискать приближенную формулу, задающую общий порядок величины p(n). Это задача аналитической теории чисел, причем одна из наиболее неподатливых. В 1918 г. Харди и Рамануджан преодолели технические трудности и вывели-таки приближенную формулу – довольно сложный ряд, включающий в себя комплексные корни 24-й степени из единицы. Затем они обнаружили, что при n = 200 одно только первое слагаемое дает первые 6 значащих цифр точного значения. Добавив к нему еще всего лишь 7 слагаемых, они получили число 3 972 999 029 388,004, целая часть которого равна точной величине. Они заметили, что этот результат «позволяет однозначно предположить, что можно получить формулу для p (n), которая не только будет выявлять его порядок величины и структуру, но и может быть использована для вычисления его точной величины для любого n», после чего доказали именно это. Должно быть, это один из редчайших случаев, когда поиск приближенной формулы в результате привел к точной формуле.

Кроме того, Рамануджан нашел в разбиениях кое-какие замечательные закономерности. В 1919 г. он доказал, что p(5k + 4) всегда делится на 5, а p(7k + 5) всегда делится на 7. В 1920 г. он заявил еще несколько аналогичных результатов: к примеру, p(11k + 6) всегда делится на 11; p(25k + 24) делится на 25; p(49k + 19), p(49k + 33), p(49k + 40) и p(49k + 47) делятся на 49; p(121k + 116) делится на 121. Обратите внимание: 25 = 52, 49 = 72, а 121 = 112. Рамануджан говорил, что, насколько он может судить, такие формулы существуют только для делителей вида 5a7b11c, но это оказалось неверным. Артур Аткин обнаружил, что p (17303k + 237) делится на 13, а в 2000 г. Кен Оно доказал, что соответствия такого рода существуют для всех простых модулей. Еще через год он и Скотт Алгрен доказали, что они существуют для всех модулей, не кратных 6.

* * *

Некоторые теоремы Рамануджана остаются недоказанными и по сей день. Одна из них, «сдавшаяся» около 40 лет назад, особенно значительна. В статье 1916 г. Рамануджан исследовал функцию τ (n), определенную как коэффициент при xn–1 в разложении

Таким образом, τ(1) = 1, τ(2) = –24, τ(3) = 252 и т. д. Эта формула исходит из глубокой и красивой работы XIX в. по эллиптическим функциям. Рамануджану τ(n) нужна была для решения задачи о степенях делителей n, и ему необходимо было знать, насколько она велика. Он доказал, что ее величина не превосходит n7, но предположил, что этот результат можно улучшить до n11/2. В качестве гипотезы он предложил две формулы:

С этими формулами несложно вычислить τ(n) для любого n. Луи Морделл доказал их в 1919 г., но гипотеза Рамануджана о порядке величины τ(n) пока сопротивляется всем усилиям.

В 1947 г. Андре Вейль, пересматривая старые результаты Гаусса, понял, что их можно применить к целым решениям различных уравнений. Следуя интуиции и воспользовавшись забавными аналогиями с топологией, он сформулировал серию технически довольно сложных результатов – гипотезы Вейля. Эти гипотезы заняли центральное место в алгебраической геометрии. В 1974 г. Пьер Делинь доказал их, а годом позже он и Ясутака Ихара вывели из них гипотезу Рамануджана. Тот факт, что для обоснования его невинной на первый взгляд гипотезы потребовался такой крупный и новаторский прорыв, указывает на масштаб и глубину интуиции Рамануджана.

Среди самых загадочных изобретений Рамануджана – «ложные тета-функции», которые он описал в последнем письме к Харди в 1920 г.; подробности были позже найдены в его потерянном блокноте. Якоби ввел тета-функции как альтернативный подход к эллиптическим функциям. Они представляют собой бесконечные ряды, которые преобразуются очень простым способом, если к переменной добавляются подходящие константы, а эллиптические функции можно строить путем деления одной тета-функции на другую. Рамануджан определил несколько аналогичных рядов и заявил большое число формул с их использованием. В то время вся идея представлялась всего лишь упражнением в обращении со сложными рядами, не связанным ни с чем больше в математике. Сегодня мы понимаем, что дело обстоит совсем не так. Эти ряды имеют важные связи с теорией модулярных форм, которые возникают в теории чисел и также связаны с эллиптическими функциями.