Мы в общем случае считаем, что неразрешенная гипотеза, как гипотеза Римана, к примеру, является либо верной, либо ошибочной, то есть у нее либо имеется доказательство, либо нет. После Гёделя мы вынуждены добавлять к этому третий вариант. Может быть, не существует ни логической цепочки, которая вела бы от аксиом теории множеств к гипотезе Римана, ни логической цепочки, которая вела бы от аксиом теории множеств к отрицанию гипотезы Римана. Если так, то для этой гипотезы не существует ни доказательства, ни опровержения. Большинство математиков готовы держать пари за то, что гипотеза Римана разрешима. Более того, большинство считает, что она верна и что в один прекрасный день доказательство этого будет найдено. Но если нет, то наверняка будет найден контрпример – нуль, лежащий вне критической линии. Смысл в том, что мы этого не знаем. Мы полагаем, что «разумные» теоремы могут быть либо доказаны, либо опровергнуты, а неразрешимые теоремы кажутся нам слегка надуманными и искусственными. Однако в следующей главе мы увидим, как разумный естественный вопрос в области теоретической информатики оказывается неразрешимым.

Классическая логика с ее четким разграничением истинного и ложного, без промежуточных вариантов, всегда двузначна. Открытие Гёделя позволяет предположить, что для математики лучше подошла бы трехзначная логика: истинно, ложно или неразрешимо.

Алан Мэтисон Тьюринг

Родился: Лондон, 23 июня 1912 г. Умер: Уилмслоу, графство Чешир, 7 июня 1954 г.

По словам коллеги Тьюринга по Блетчли-парку Джека Гуда, Алан страдал сенной лихорадкой. Он ездил в контору на велосипеде, и каждый июнь вынужден был надевать респиратор, чтобы защититься от пыльцы. С велосипедом у него тоже что-то было не в порядке, и время от времени цепь слетала. Поэтому Тьюринг всегда возил с собой банку масла и тряпку, чтобы привести себя в порядок после очередной починки.

Со временем, устав от бесконечного надевания цепи, он решил подойти к проблеме рационально. Он начал подсчитывать, сколько раз успевают провернуться педали велосипеда от одной поломки до следующей. Это число оказалось замечательно стабильным. Сравнив его с числом звеньев в цепи и числом спиц в колесе велосипеда, он пришел к выводу: цепь слетает всякий раз, когда цепь и колесо находятся в некоторой определенной конфигурации. После этого он постоянно вел подсчет оборотов, чтобы заранее знать, когда цепь соберется слететь в очередной раз; тогда он предпринимал некий маневр, который позволял ему удержать цепь на месте. Ему больше не нужно было возить с собой масло и тряпку. Со временем он выяснил и подлинную причину: такой эффект давала слегка погнутая спица в сочетании с поврежденным звеном цепи.

Это был триумф рациональности, но любой другой на месте Тьюринга просто отдал бы велосипед в мастерскую, где мастер быстро обнаружил бы неисправность. С другой стороны, тем, что он этого не сделал, Тьюринг сэкономил на ремонте – и сделал так, что никто, кроме него самого, не мог ездить на его велосипеде. Как и во многих других случаях, у него были свои соображения; просто они не походили на соображения всех остальных.

* * *

Отец Алана Тьюринга Юлиус работал в Индийской гражданской службе. Его мать Этель (урожденная Стоуни) была дочерью главного инженера Мадрасских железных дорог. Супруги хотели, чтобы их дети воспитывались в Англии, поэтому переехали в Лондон. Алан был младшим из двух сыновей. В шесть лет он поступил в школу в прибрежном городке Сент-Леонард, где директор сразу же обратила внимание на необычайно умного мальчика.

В 13 лет Алан поступил в Шерборнскую школу – независимую «публичную» школу, как замысловато именуются в Англии частные платные школы, в которых обучаются преимущественно дети из богатых семей. Как в большинстве подобных школ, упор в ней делался на классические дисциплины. У Тьюринга был плохой почерк, он не отличался хорошей грамотностью, да и в любимом своем предмете – математике – предпочитал собственные ответы тем, что требовали учителя. То ли несмотря на это, то ли благодаря этому он выигрывал все математические конкурсы. Кроме того, ему нравилась химия, но и здесь он предпочитал искать собственный путь. Его классная руководительница писала: «Если ему суждено заниматься исключительно наукой, он напрасно теряет время в частной школе».

Чистая правда.

Школа была не в курсе, что в свободное время Тьюринг читает статьи Эйнштейна о теории относительности и книгу Артура Эддингтона о квантовой теории «Природа физического мира». В 1928 г. Алан сдружился с Кристофером Моркомом, который учился на класс старше и разделял его интерес к науке. Однако не прошло и двух лет, как Морком умер. Тьюринг был безутешен, но продолжал упрямо учиться – и выиграл возможность изучать математику в Кембриджском Королевском колледже. Там Алан продолжал читать учебники, намного опережавшие учебный план – или вообще не входившие в него. В 1934 г. он закончил колледж.

Тьюринг был неисправимо неряшлив. Даже если он надевал костюм, то костюм этот редко был отглажен. Говорят, что иногда он подвязывал брюки галстуком или просто бечевкой. Его смех звучал громко и неприятно. У него был дефект речи, не то чтобы заикание, а внезапные паузы в речи, когда он некоторое время мог тянуть «э-э-э-э-э…», подыскивая подходящее слово. Он не слишком придирчиво относился к бритью, и к концу дня у него на лице обычно видна была легкая щетина. Тьюринга часто изображают нервным, социально не адаптированным чудиком, но на самом деле он был довольно популярен и легко осваивался в любой компании. Его очевидная эксцентричность происходила в основном от оригинальности не того, о чем он думал, а того, как он думал. Работая над задачей, Тьюринг находил такие ее аспекты, о существовании которых никто даже не подозревал.

Через год после выпуска Тьюринг учился в аспирантуре по основаниям математики у Макса Ньюмана; именно там он узнал о программе Гильберта и о ее разрушении Гёделем. Тьюринг понял, что Гёделева теорема о неразрешимости на самом деле говорит об алгоритмах. Вопрос разрешим, если существует алгоритм получения ответа на него. Разрешимость конкретной задачи можно доказать, отыскав такой алгоритм. Понятие неразрешимости глубже, и работать с ним сложнее: необходимо доказать, что таких алгоритмов не существует. Бесполезно и пытаться, если у вас нет точного определения алгоритма. Гёдель, по существу, разобрался с этим вопросом, рассматривая алгоритм как доказательство в рамках аксиоматической системы. Тьюринг же начал размышлять о том, как формализовать алгоритмы в целом.

* * *

В 1935 г. он стал членом Королевского колледжа за независимое открытие центральной предельной теоремы в теории вероятностей, которая обеспечивает некоторое логическое обоснование широкому использованию «колоколообразной кривой», или нормального распределения, в статистическом анализе. Однако в 1936 г., с публикацией основополагающей статьи «О вычислимых числах применительно к Entscheidungsproblem» (проблеме разрешимости), на передний план вышли его мысли о теоремах Гёделя. В этой статье Тьюринг доказал теорему о неразрешимости для формальной модели вычислений, которую сегодня называют машиной Тьюринга. Он доказал, что ни один алгоритм не может решить заранее, остановится ли расчет с получением ответа. Его доказательство проще, чем Гёделево, хотя оба они требуют предварительных ухищрений для организации контекста.