На самом деле не ясно, каково число линий, которые мы можем зафиксировать мгновенно, — три или четыре? У римлян в действительности были два возможных способа написания четверки — IIII и IV. Зрительно намного быстрее распознается IV, но на циферблатах часов — быть может, по эстетическим причинам — имеется тенденция использовать IIII. Без сомнения, число линий, точек или саблезубых тигров, которое мы можем распознать быстро, уверенно и точно, — не более четырех.

При том что у нас есть точное ощущение чисел 1, 2 и 3, за пределами числа 4 наши способности ослабевают и суждения о числах становятся приблизительными. Попробуйте, например, быстро определить, сколько точек здесь изображено:

Это невозможно. (Не считая того случая, когда вы — аутист с незаурядными умственными способностями, как персонаж Дастина Хоффмана в фильме «Человек дождя», который мог бы через долю секунды сказать «семьдесят пять».) Все, что нам доступно, — это оценка, и она вполне может оказаться неточной.

Исследователи протестировали, насколько далеко простирается наше интуитивное восприятие чисел. Добровольцам показывали картинки с различным числом точек и спрашивали, на какой картинке точек больше. Оказалось, что умение распознавать точки подчиняется регулярным закономерностям. Например, легче выявить различие между группой из 80 точек и группой из 100 точек, чем между группами из 81 и 82 точек. Аналогичным образом, легче провести различие между группами из 20 и 40 точек, чем между группами из 80 и 100 точек. Кроме того, ученых на самом деле очень удивляет, сколь строго наши способности к сравнению следуют математическим законам, таким как принцип мультипликативности. В своей книге «Чувство числа» французский специалист по когнитивным наукам Станислас Деэн приводит пример человека, который может отличить группу из 10 точек от группы из 13 точек с 90-процентной точностью. Если же число точек в первой группе удвоить, так что их станет 20, то сколько точек надо включить во вторую группу, чтобы этот человек по-прежнему различал их с 90-процентной точностью? Ответ: 26, то есть в точности удвоенное значение исходного числа во второй группе.

Животные также обладают способностью сравнивать группы точек. Хотя результаты у них далеко не такие высокие, как у нас, их умениями управляют, по-видимому, те же математические законы. Это довольно нетривиальная вещь. Люди — единственные, кто обладает прекрасно развитой системой счета. Наша жизнь заполнена числами. И тем не менее, при всех наших математических талантах, когда дело доходит до восприятия и оценки больших чисел, наш мозг функционирует в точности как мозги наших пернатых и мохнатых друзей.

* * *

Интуитивные человеческие представления о величинах непрерывно развивались в течение миллионов лет, и в конце концов в жизни людей появились числа. Нет возможности в точности узнать, как это произошло, но разумно допустить, что числа возникли из желания отслеживать количество самых разных вещей, таких как луна, горы, хищники или удары в барабан. Сначала, по-видимому, использовались наглядные символы, к примеру пальцы или засечки на деревяшке, находящиеся во взаимно-однозначном соответствии с самими объектами, подлежащими отслеживанию, — две засечки или два пальца для двух мамонтов, три засечки или три пальца — для трех и т. д. Позднее появились слова, выражавшие идеи «двух зарубок» или «трех пальцев». По мере вовлечения все новых и новых объектов, за количеством которых надо было следить, словарный запас расширялся и появлялись новые символы для чисел, так что в конце концов — если перескочить прямо к нашему времени — мы получили полностью развитую систему точных чисел и теперь можем ни в чем себе не отказывать, если хотим что-либо посчитать. Наши способности оперировать точными числами, например возможность подсчитать, что на приведенной выше картинке имеется в точности 75 точек, как нельзя более тесно связаны с более фундаментальной способностью воспринимать подобные величины приблизительно. Мы выбираем, какой стратегии придерживаться, в зависимости от обстоятельств: в супермаркете, например, пользуемся нашими знаниями о точных числах, когда смотрим на цену продуктов. Но, решая, в какую кассу самая короткая очередь, мы используем наше интуитивное, оценочное восприятие. Мы не пересчитываем всех людей в каждой очереди — просто смотрим на имеющиеся очереди и оцениваем, в какой из них меньше людей.

На самом деле приближенный подход к числам мы используем постоянно, даже когда употребляем «точную» терминологию. Спросите людей, сколько времени они добираются работы, и чаще всего в ответе будет указан «диапазон», например, «тридцать пять — сорок минут». Как-то я заметил, что часто не в состоянии ответить на вопрос о величине чего-либо, используя только одно число. «Сколько людей было на вечеринке?» — «Двадцать-тридцать». — «Сколько времени вы там провели?» — «Три с половиной — четыре часа». — «Сколько бокалов коктейля выпили?» — «Четыре-пять, а может, и десять». Раньше я полагал, что подобные ответы просто означают, что я колеблюсь, но теперь далеко не так в этом уверен и скорее склонен думать, что таким образом я обращаюсь к своему внутреннему представлению о числе: интуитивному, животному стремлению оперировать приближениями.

Коль скоро приближенное восприятие чисел существенно для выживания, можно было бы подумать, что все люди в этом отношении должны обладать примерно одинаковыми способностями. В 2008 году психологи из Университета Джонса Хопкинса и Института Кеннеди Кригера исследовали этот вопрос на группе 14-летних подростков. В течение 0,2 секунды им показывали на экране группы из желтых и синих точек, а затем спрашивали, каких точек было больше — синих или желтых. Результаты потрясли исследователей, поскольку продемонстрировали неожиданно широкий разброс.

Некоторым испытуемым было легко зафиксировать разницу между девятью синими точками и десятью желтыми, в то же время способности других не сильно отличались от способностей младенцев — они едва были в состоянии отметить, что пять желтых точек — это больше, чем три синих.

Еще более озадачивающие результаты обнаружились, когда успехи подростков по сравниванию чисел разноцветных точек сопоставили с их оценками по математике, полученными начиная с детского сада. До того исследователи полагали, что интуитивные способности различать количество предметов не оказывают значительного влияния на то, насколько успешно данный ученик выполняет задания по решению уравнений и построению треугольников. Однако в данном исследовании выяснилось наличие сильной корреляции между способностями к оценке количества точек и успехами в формальной математике. Чем лучше ученику дается приблизительное восприятие чисел, тем выше, как оказалось, его школьные результаты. Этот результат может иметь важные последствия для развития методов образования. Если склонность к оценочному восприятию напрямую связана с математическими способностями, то тогда занятия математикой должны в меньшей степени состоять из таблицы умножения, а в большей — из отработки навыков сравнивания наборов точек.