Удивительные и блестящие исследования Курта Геделя привнесли такой же человеческий подход в математику. В 1930 году в возрасте 23 лет этот австрийский логик представил две связанные между собой теоремы о неполноте, в которых, по сути, доказал, что математика (или, точнее, любая формальная система, в которой возможна теория чисел) не является автономной, так как включает в себя по меньшей мере одно утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Как следствие, в своей второй теореме Гедель выводит, что непротиворечивость системы невозможно доказать, находясь внутри нее. Иными словами, великая мечта о создании замкнутой восходящей структуры всей математики, которую вынашивали величайшие ученые всех времен, рухнула. Разумеется, в несовершенную логическую систему можно было бы добавить дополнительные аксиомы, чтобы доказать ее непротиворечивость, и в некоторых случаях математики действительно так поступали. Но теорема о неполноте сделала свое дело. После Геделя дух идеальной красоты, определявший платоновский реализм на протяжении многих тысяч лет, был утрачен. Река еще не обрушила дамбу окончательно, но трещины на ней уже были заметны.

Гедель нацелился на монументальный трехтомный труд «Принципы математики», написанный Бертраном Расселом и Альфредом Нортом Уайтхедом в 1910–1913 годах, в котором авторы пытались свести всю математику к чистой логике. Их работа была воплощением идеальной рациональности. Рассел и Уайтхед ставили своей целью показать, что все математическое мышление можно свести к манипуляции символами, регулируемой набором правил. Гедель заменил символы числами, показав, что символьные модели в «Принципах» можно представить в качестве моделей цифровых (обработки массивов численных данных). Учитывая, что работа Рассела и Уайтхеда была автореферентной (замыкалась сама на себя, как мифический змей Уроборос), Гедель легко показал, что весь этот проект был построен на проблемах, поднимавшихся еще в античных парадоксах, в частности в знаменитом парадоксе лжеца: «Это утверждение ложно».

Если задуматься, становится очевидно, что подобного рода парадокс вводит наш мозг в замкнутый круг рассуждений. Это утверждение не может быть верным, так как если оно верно, то оно ложно. Ложным оно также быть не может, так как если оно ложно, то оно верно. Гедель показал, что, базируясь на положениях «Принципов математики», можно создать формулировку, противоречащую себе самой: «Эту формулу невозможно доказать с помощью правил, содержащихся в “Принципах математики”».[180] Какой удар для Рассела и Уайтхеда и их доблестной попытки избавить математику от таких парадоксов. Как писал Хофштадтер, «в своей потрясающе дерзкой манере Гедель взял приступом крепость “Принципов математики” и оставил ее в руинах».[181]

У самых корней математики уже лежат зерна ее собственной ограниченности. Это стало тяжелым ударом для тех, кто верил в существование измерения абсолютных математических истин, доступного человеческому сознанию.[182] Ребекка Голдстейн пишет в своей увлекательной статье «Неполнота», посвященной работе Геделя, что, как это ни удивительно, общее восприятие теорем противоречило тому, в чем был убежден сам Гедель, – существованию платоновского мира, ключом к которому является математика. Голдстейн добавляет, что то же самое произошло с Эйнштейном, чья вера в физическую реальность, независимую от человеческого сознания, не поколебалась даже после квантовой революции (см. часть II книги) и чья теория относительности часто рассматривается как шаг в сторону от реалистичной точки зрения и введение в количественное описание мира неустойчивого человеческого фактора.[183] Для Эйнштейна «истиной, находящейся где-то рядом» была Природа, а для Геделя – измерение чистой математики. Оба они считали неприемлемыми противоречия реализма и идеализма и ограничения, которые последний налагал на знания. Наше сознание не должно диктовать условия внешнего мира.

Несмотря на революционный вклад, который оба этих ученых внесли в свои дисциплины, и Эйнштейн, и Гедель провели последние годы жизни в своего рода интеллектуальной ссылке, прогуливаясь по кампусу принстонского Института перспективных исследований и разговаривая в основном лишь друг с другом. Голдстейн предполагает, что именно эта ситуация и стала причиной их странной дружбы, которая продлилась до самой смерти Эйнштейна в 1955 году.

Через пять лет после публикации работы Геделя англичанин Алан Тьюринг ввел в обиход то, что сегодня мы называем машиной Тьюринга, – устройство, способное манипулировать символами на ленте для печати с использованием определенного набора правил. По сути, машина Тьюринга представляет собой идеализированный компьютер, имеющий одну программу и бесконечный объем памяти для расчетов. На практике большинство компьютеров с достаточным объемом памяти и определенным ограниченным временем работы действуют как машины Тьюринга. Устройство и лента – это «железо», аппаратная часть машины, а набор правил – это программа, или алгоритм. Тьюринг показал, что любое такое устройство рано или поздно сталкивается с проблемой остановки, то есть своей неспособностью установить, останавливается выполнение случайной программы или продолжается бесконечно. Разумеется, остановку некоторых программ легко заметить. В качестве примера можно привести строку кода print "Остров знаний". Машина напечатает заданную фразу и закончит выполнение задачи. С другими программами все сложнее, например, со строкой кода while (true) continue, где (true) может представлять собой одно или несколько верных утверждений, например, что число плюс такое же число равно этому числу, умноженному на два. Программа будет складывать число за числом до тех пор, пока у устройства не закончится энергия. И чем сложнее программа, тем труднее принять решение об остановке.

Важность проблемы остановки и ее связь с геделевскими теоремами о неполноте состоит в том, что эта задача, как и парадокс лжеца, не имеет решения. Тьюринг доказал, что невозможно составить единый алгоритм, который всегда будет давать правильный ответ «да» или «нет» на вопрос, стоит ли программе остановиться. В этом и заключается главное затруднение, так как это означает, что в мире всегда будут существовать предположения, истинность или ложность которых невозможно будет определить за ограниченное количество шагов. Учитывая, что математика строится на основании аксиоматической структуры, следуя определенному набору символически реализуемых правил, Гедель и Тьюринг отвечают отрицательно на все три знаменитых вопроса, поставленных Дэвидом Гильбертом в 1928 году. Нет, математика не является полной формальной структурой, нет, она не непротиворечива, и нет, она не разрешаема. Иными словами, механизация человеческой математической мысли – это всего лишь фантазия.