Вопрос обоснованности также важен для силлогизмов, которые относятся к категориальному мышлению. В некоторых типах категориального мышления постоянно используются такие указатели множества, как «все», «некоторые» и «никакие». Простые силлогизмы состоят из двух утверждений и одного вывода. Простейший из этих простых силлогизмов, в котором мы редко допускаем ошибку, формулируется так: «Все А являются Б, все Б являются В, значит, все А являются В». Классический пример:

Все клерки — люди.

Все люди двуноги.

------------------------

Все клерки двуноги.

Это доказательство обоснованно, потому что оно логически следует из предпосылок. Вывод также верен.

Все клерки — люди.

У всех людей есть перья.

------------------------

У всех клерков есть перья.

Это доказательство тоже обоснованно, хотя вывод неверен. Неправдоподобность вывода заставляет нас почувствовать, что доказательство тоже неверно. Но если мы подставим А, Б и В вместо клерков, людей и перьев, мы увидим, что доказательство обоснованно. А это может заставить нас по-новому посмотреть на истинность вывода, что может быть полезно.

Доказательство, которое я приведу ниже, не обоснованно, несмотря на то что его предпосылки и вывод, который из них следует, являются истинными (или как минимум чрезвычайно правдоподобными).

Все люди, получающие социальное пособие, бедны.

Некоторые бедные люди непорядочны.

Следовательно, некоторые люди, получающие социальное пособие, непорядочны.

В абстрактных величинах:

Все А являются Б.

Некоторые Б являются В.

Следовательно, некоторые А являются В.

Это упражнение перевода данных в абстрактные величины полезно, потому что иногда нам кажется, что вывод является истинным потому, что кажется правдоподобным, и потому, что имеются истинные предпосылки, которые, казалось бы, логически подтверждают вывод. Обнаружив, что доказательство не обосновано, мы избавимся от чувства, что вывод непременно является истинным, и усомнимся в его достоверности. (Чтобы признать необоснованность приведенного выше доказательства, нужно понять, что случаи А являются подгруппой случаев Б.)

С этого места все начинает стремительно усложняться: все А являются Б, некоторые В являются А, некоторые В являются Б. Верно или нет? Никакие А не являются Б, некоторые В являются Б, никакие А не являются В. Верно или нет?

Можно менять эти буквы местами, пока не потемнеет в глазах. В Средние века монахи коротали время, сочиняя подобные высказывания сотнями. Но я согласен с философом Бертраном Расселом, который заметил, что эти силлогизмы были так же бесплодны, как сами монахи. Вот вам и 26 столетий педагогики, уверяющей, что силлогизмы необходимы для эффективного мышления.

Самое важное, что я вынес для себя из изучения категориального логического мышления, это умение строить диаграммы Венна, названные в честь английского логика XIX в. Джона Венна, который придумал, как изображать принадлежность к категориям. Я не перестаю удивляться, насколько они полезны, даже необходимы для представления взаимосвязей между различными категориями.

На рисунке 5 изображено несколько практически полезных примеров, которые дадут вам общее представление об этих диаграммах.

Рис. 5. Область пересечения категорий

Левая верхняя схема на рисунке 5 изображает конкретный силлогизм, который мы используем в повседневной жизни. Этот силлогизм представляет ситуацию, в которой некоторые (но не все) А являются В и некоторые (но не все) В являются А. Например, А означает маленьких пушистых зверьков, а В означает зверьков с утиным клювом. Получается, что на пересечении А и В есть одно животное, а именно — утконос. Также эта схема может демонстрировать ситуацию, когда некоторые, но не все ученики международной школы, говорящие по-английски, также говорят по-французски и некоторые, но не все ученики, говорящие по-французски, говорят по-английски. (Некоторые, но не все А являются В, и некоторые, но не все В являются А.) У тех, кто говорит только по-английски (только А), математику должна преподавать мисс Смит; у тех, кто говорит только по-французски (В), преподавать должен мсье Пиро. Ученики, которые говорят на обоих языках, могут заниматься у любого из этих преподавателей.

Верхняя правая схема показывает гораздо более сложную, но отнюдь не редкую ситуацию, при которой некоторые А являются В, некоторые В являются А, некоторые А являются С, некоторые С являются А, некоторые В являются С и некоторые С являются В.

Нижняя схема демонстрирует реальный пример такой ситуации. На ней изображены области пересечения букв из разных алфавитов: греческого (сверху слева), латинского (сверху справа) и русского (внизу). Ручаюсь, что вам вряд ли удастся прийти к правильному выводу по поводу совпадения данных категорий, используя только вербальные высказывания о них. Уверен, что у меня наверняка получилась бы просто каша из трех алфавитов.

Одних диаграмм Венна, конечно, недостаточно, чтобы подготовить вас к решению всех соответствующих задач, но они могут научить вас основным принципам наглядного изображения принадлежности или непринадлежности к категориям. Возможно, вы поймете, что диаграммы Венна могут оказаться для вас полезны.

Логика высказываний

Силлогизмы можно применять в очень небольшом числе выводов, которые нам приходится делать в повседневной жизни. Гораздо более важно использовать логику высказываний, которая применяется повсеместно.

Философы и логики время от времени обращались к логике высказываний, постепенно развивая эту область науки приблизительно с III в. до н.э. и до XIV в. Начиная с середины XIX в. логики начали делать заметные успехи в области логики высказываний, уделяя особенное внимание таким «операторам», как союзы «и» и «или». «И» служит для «соединения» таких высказываний, как «А верно и В верно; следовательно, А и В верны». «Или» служит для «разъединения», например, «А верно или В верно; А верно, следовательно, В не верно». Именно исследование логики высказываний в то время легло в основу программирования и создания компьютеров.

В начале этой главы я попросил вас решить задачу с карточками. Теперь вы видите, что она требует применения условной логики. Если П, тогда Р. «Если на одной стороне карточки написана гласная, то на другой стороне написано четное число». Перед тем как мы посмотрим, как вы справились с этой задачей, давайте рассмотрим еще одну ситуацию.

Вы инспектор полиции. Одна из ваших обязанностей — проверять, что рестораны не продают алкогольные напитки лицам младше 21 года. Ваша задача — сказать, кого из клиентов вам необходимо проверить, чтобы убедиться, что он не нарушает правила «Если клиент пьет алкогольный напиток, значит, клиенту не меньше 21 года». Вам нужно проверить только тех клиентов, которых обязательно нужно проверить, чтобы выяснить, что правило соблюдается.