Тор можно получить, взяв квадрат в евклидовой плоскости и отождествив его противоположные края. Тогда он плоский – с нулевой кривизной. У сферы имеется постоянная положительная кривизна. Тор с двумя или более отверстиями может быть представлен как поверхность с постоянной отрицательной кривизной. Иными словами, топология поверхностей может быть заново интерпретирована в терминах геометрии трех типов: одного евклидова и двух неевклидовых, точнее, собственно евклидовой геометрии, эллиптической геометрии (положительная кривизна) и гиперболической (отрицательная кривизна; геометрия Лобачевского).

Может ли быть нечто аналогичное в трех измерениях? Тёрстон указывал на ряд осложнений: оказывается, здесь задействовано не три, а восемь типов геометрий. И уже нет возможности использовать какую-то одну из них для данного многообразия: последнее должно быть разбито на несколько частей, чтобы для каждой использовать свою геометрию. Он сформулировал свою гипотезу геометризации: всегда есть систематический способ разбить трехмерное многообразие на части, каждая из которых соответствует одной из восьми геометрий.

Слева: петли с коэффициентом зацепления 3. Справа: эти связи нельзя разделить топологически, хотя их коэффициент зацепления равен 0

Теперь гипотеза Пуанкаре становится ее прямым следствием, поскольку условие, что все петли стягиваются, исключает семь геометрий, оставляя только геометрию постоянной положительной кривизны – трехмерной гиперсферы.

Альтернативный подход предлагает геометрия Римана. В 1982 г. Ричард Гамильтон открыл в этой области новые приемы, основанные на математических идеях, которые были использованы Альбертом Эйнштейном для обоснования общей теории относительности. По Эйнштейну, пространство-время можно считать изогнутым, а кривизна описывает силу притяжения. Она измеряется так называемым тензором кривизны, который имеет более простого родственника, известного как тензор Риччи (назван в честь его изобретателя Грегорио Риччи-Курбастро). Изменения в геометрии Вселенной, связанные со временем, описываются уравнениями Эйнштейна, где говорится, что кривизна пропорциональна силе тензора. В результате гравитационные искривления Вселенной стараются со временем выпрямиться, и уравнения Эйнштейна количественно описывают эту идею.

Тот же фокус можно проделать и с использованием версии кривизны Риччи, и мы получим ту же модель поведения: поверхность, подчиняющаяся уравнениям для потока Риччи, естественным путем стремится к упрощению своей геометрии, более справедливо распределяя свою кривизну. Гамильтон показал, что гипотеза Пуанкаре для двумерного пространства может быть доказана с помощью потока Риччи – на основании того, что поверхность, на которой все петли стягиваются, упрощает саму себя по мере того, как следует потоку Риччи, так что в конце получается идеальная сфера. Гамильтон также предложил обобщить этот подход для трехмерного пространства и даже добился определенного успеха в своих исследованиях, пока не натолкнулся на ряд трудностей.

В 2002 г. Григорий Перельман произвел сенсацию, выложив несколько своих статей на arXiv – сайте, созданном физиками и математиками для нерецензируемых публикаций и подчас даже еще не законченных исследований. Так ученые могли избежать проволочек из-за реферирования, неизбежных при официальной публикации своих открытий. Ранее этой же цели служили периодически издававшиеся на бумаге неофициальные препринты. На первый взгляд статьи Перельмана посвящены потоку Риччи, но на самом деле становится понятно, что если открытия автора верны, они послужат доказательством гипотезы геометризации, которую сформулировал Пуанкаре.

Основную идею предложил еще Гамильтон. Возьмите произвольное трехмерное многообразие, снабдите его понятием расстояния так, чтобы можно было применить поток Риччи, и позвольте многообразию следовать потоку, упрощая себя. Главным возможным осложнением становятся особенности, которые возникнут там, где многообразие сжимается, когда оно перестает быть гладким. При сингулярности предложенный метод не работал. Свежая идея состояла в том, чтобы устранить эти сингулярности, тем самым открыть появившиеся отверстия и удалить все препятствия для потока. Если многообразию удастся упростить самое себя полностью после того, как появилось только конечное число сигулярностей, каждая часть будет поддерживать только одну из восьми геометрий, и операции, обратные вырезанию (хирургия, или перестройка Морса), покажут нам, как снова склеить эти части в целое и восстановить многообразие.

Гипотеза Пуанкаре стала столь знаменитой по другой причине: она была включена в список восьми математических задач тысячелетия, составленных Институтом Клея, и за их решение – подкрепленное вескими доказательствами – можно получить приз в миллион долларов. Но у Перельмана оказалась своя особая причина не желать этой награды – вернее, не желать никакой награды, кроме самого решения, поэтому ученый и не имел особого стимула расшифровать свои малопонятные наброски на arXiv в нечто более достойное публикации.

Эксперты в этой области науки были вынуждены предлагать свои версии развития его идеи, стараясь заполнить пробелы в его логике и в итоге добившись результата, приемлемого в качестве доказательства. Некоторые из таких исследований были опубликованы, и понятная и четкая версия доказательства Перельмана одобрена сообществом топологов. В 2006 г. ему присудили медаль Филдса за исследования в этой области, но и от этого приза ученый отказался. Как видим, не всех манит мировая слава.