Среди общепринятых законов алгебры имеется коммутативный закон умножения, согласно которому ab = ba. Гамильтон потратил годы на то, чтобы создать эффективную алгебру для трех измерений. И он все-таки нашел ее – числовую систему под названием кватернионы. Однако это была алгебра для четырех измерений, а не для трех, и здесь умножение не было коммутативно.

Кватернионы похожи на комплексные числа, но вместо одного нового числа i здесь их три: i, j, k. Кватернион является комбинацией этих чисел, например 7 + 8i – 2j + 4k. Точно так же, как комплексные числа двумерны, поскольку составлены из двух независимых величин 1 и i, кватернионы четырехмерны, так как составлены из независимых величин 1, i, j и k. Они могут быть формально определены алгебраически как четверки действительных чисел со своими правилами сложения и умножения.

Когда Гамильтон совершил прорыв, математики уже принимали многомерные пространства как нечто вполне естественное и даже открыли ряд физических толкований того, почему основными элементами пространства может быть что-то кроме точек. В 1846 г. Юлиус Плюккер указывал, что для описания линии в пространстве необходимы четыре числа. Два определяют, где линия пересекает некую фиксированную плоскость, а еще два – направление относительно этой плоскости. Значит, если наше знакомое пространство считать набором линий, оно имеет не три, а четыре измерения. Но оставалось ощущение, что такое построение чересчур умозрительно и что пространство, образованное четырьмя измерениями, неестественно. Кватернионы Гамильтона можно естественным образом проинтерпретировать как вращения, и их алгебра безупречна. Они так же естественны, как комплексные числа, – а значит, и четырехмерное пространство так же естественно, как плоскость.

Идея быстро вышла за рамки четырех измерений. Гамильтон продвигал свои возлюбленные кватернионы, а преподаватель математики Герман Гюнтер Грассман в это время занимался открытием расширения числовой системы для пространства с любым количеством измерений. Он опубликовал свою идею в 1844 г. в своем «Учении о линейной протяженности». Его выкладки оказались слишком загадочными и абстрактными, поэтому не привлекли особого внимания. В 1862 г., не желая с этим мириться, ученый выпустил переработанную версию своего труда, «Учение о протяженности», уверенный, что на этот раз материал изложен более доступно. Увы, это было не так.

Несмотря на холодный прием, работа Грассмана была фундаментально важной. Он открыл, что можно заменить четыре единицы 1, i, j и k кватернионов любым количеством единиц. Комбинации последних он назвал гиперчислами. Он отдавал себе отчет в том, что его подход имеет ограничения, ему стоит быть осторожным и не возлагать лишних надежд на арифметику гиперчисел: рабское подчинение законам традиционной алгебры никуда его не приведет.

Тем временем физики развивали свое видение многомерных пространств, опираясь не на геометрию, а на уравнения Максвелла для электромагнетизма. Здесь и магнитное, и электрическое поля были векторами – обладали направлением в трехмерном пространстве наряду со скалярной величиной (численным значением). Векторы при желании изображаются стрелками, выстроенными в линии магнитного или электрического поля. Длина стрелки показывает силу поля, а острие – направление, куда оно обращено.

Со временем уравнений Максвелла набралось всего восемь, причем туда входило две группы по три уравнения: по одному для каждого компонента электрического или магнитного поля с учетом всех трех измерений пространства. Жизнь была бы намного легче, если бы удалось собрать каждую из этих троек в единое векторное уравнение. Максвеллу удалось достичь этого благодаря кватернионам, но его подход оказался грубоватым. Независимо друг от друга физик Джозайя Уиллард Гиббс и инженер Оливер Хевисайд нашли более простой путь для алгебраического представления векторов. Гиббс в 1881 г. тайно напечатал свою статью «Элементы векторного анализа» в помощь своим студентам. Он пояснил, что его идеи необходимы скорее для практического использования, чем для математической изысканности. Над его заметками поработал также Эдвин Уилсон, и в 1901 г. они опубликовали совместный труд «Векторный анализ». Хевисайд высказал те же самые общие идеи в первом томе своей «Электромагнитной теории» в 1893 г. (следующие два тома вышли в 1899 и 1912 гг. соответственно).

Изначально различные системы: кватернионы Гамильтона, гиперкомплексные числа Грассмана и векторы Гиббса – очень быстро сошлись к одному и тому же математическому описанию вектора. Это тройка чисел (x, y, z). Так спустя 250 лет и математики, и физики из разных частей света нашли свой путь обратно к Декарту – только теперь его идея координат оказалась лишь частью истории. Тройки представляли не просто точки, а направленные величины. Здесь заключалась огромная разница – и это не был формализм; это стало новой интерпретацией, физическим толкованием.

Математики гадали, какими свойствами порадуют их системы гиперкомплексных чисел. Для них вопрос звучал не «Есть ли от них польза?», а «Интересны ли они ученым?». Так математики сосредоточились на алгебраических свойствах систем n-х гиперкомплексных чисел для любого n. Фактически здесь уже шла речь о n-мерных пространствах плюс алгебраических действиях, но на первых порах все предпочитали мыслить алгебраически, оставляя геометрические аспекты проблемы под спудом.

Геометры ответили на вторжение на их территорию алгебраистов, подвергнув гиперкомплексные числа геометрической интерпретации. Ключевой фигурой в этом действе стал Риман. Он работал над своей хабилитацией в надежде получить право брать плату с обучавшихся у него студентов. Кандидату на степень хабилитированного доктора полагалось прочесть публичную лекцию на тему его собственного исследования. Следуя привычной процедуре, Гаусс попросил Римана представить ему список тем, из которых он мог бы что-то окончательно выбрать. Одна из тем называлась «О гипотезах, лежащих в основе геометрии», и Гаусс, также интересовавшийся этими вопросами, выбрал именно ее.

Риман был в ужасе: мало того, что он вообще терпеть не мог выступать на публике, так и тема была им почти не проработана. Но сама идея оказалась блестящей: геометрия для n измерений, под которой он подразумевал систему с n координатами (x1, x2, …, xn), в которую введено понятие расстояния между близлежащими точками. Он назвал такое пространство многообразием. Предложение было весьма радикальным, но оно привело к еще более радикальному выводу: многообразия могут искривляться. Гаусс занимался изучением кривизны поверхностей и вывел изящную формулу, естественно описывающую кривизну по существу – исключительно в терминах поверхности, а не пространства, где та помещается.

Риман намеревался вывести похожую формулу для кривизны многообразия, обобщив формулу Гаусса для n измерений. Она тоже должна была стать неотъемлемой для многообразия – для нее не надо будет использовать какое-либо пространство. Попытки Римана развить понятие кривизны в пространстве с n измерениями привели его на грань нервного срыва. Положение усугубилось еще и тем, что он активно помогал коллеге Гаусса Веберу, занимавшемуся исследованием электричества. Риман не сдавался, и наблюдения за взаимодействием электрических и магнитных сил привели его к новой концепции силы, основанной на геометрии. На него снизошло такое же озарение, благодаря какому десятилетия спустя Эйнштейн открыл общую теорию относительности: силу может заменить искривление пространства.