Математика — изучение абсолютно необходимых истин.

Доказательство — способ установления истинности математических утверждений.

Традиционное определение: последовательность утверждений, которая начинается с некоторых посылок, заканчивается желаемым выводом и удовлетворяет определённым «правилам вывода».

Лучшее определение: вычисление, моделирующее свойства некоторой абстрактной сущности, результат которого устанавливает, что абстрактная сущность обладает данным свойством.

Математическая интуиция (традиционное определение) — высший самоочевидный источник обоснования математического рассуждения.

В реальности: множество теорий (осознанных и неосознанных) о поведении определённых физических объектов, которое моделирует поведение интересных абстрактных сущностей.

Интуиционизм — доктрина, состоящая в том, что все рассуждения об абстрактных сущностях ненадёжны, кроме того случая, когда они основаны на прямой самоочевидной интуиции. Это математическая версия солипсизма.

Десятая проблема Гильберта — «раз и навсегда установить надёжность математических методов», найдя набор правил вывода, достаточный для всех корректных доказательств, и затем доказать непротиворечивость этих правил в соответствии с их собственными стандартами.

Теорема Гёделя о неполноте — доказательство того, что десятая проблема Гильберта не имеет решения. Для любого набора правил вывода существуют корректные доказательства, которые эти правила не определяют как таковые.

Сложные и автономные абстрактные сущности объективно существуют и являются частью структуры реальности. Существуют логически необходимые истины об этих сущностях, которые и составляют предмет математики. Однако эти истины невозможно знать с полной уверенность. Доказательства не гарантируют достоверность своих выводов. Корректность конкретной формы доказательства зависит от истинности наших теорий о поведении объектов, с помощью которых осуществляется доказательство. Следовательно, математическое знание по сути своей производно и полностью зависит от нашего знания физики. Постижимые математические истины — это в точности то бесконечно малое меньшинство, которое можно воспроизвести в виртуальной реальности. Однако непостижимые математические категории (например, CGT-среды) тоже существуют, так как они появляются неустранимым образом в наших объяснениях постижимых сущностей.

Я уже говорил, что вычисление всегда было квантовой концепцией, потому что классическая физика несовместима с интуитивными представлениями, которые создали основу классической теории вычислений. То же самое относится и ко времени. За тысячи лет до квантовой теории время было первой квантовой концепцией.

Будучи одним из наиболее знакомых свойств физического мира, время имеет репутацию глубоко загадочного. Загадка — часть самого понятия времени, с которым мы растём. Блаженный Августин, например, сказал: «Что же такое время? Если никто меня об этом не спрашивает, я знаю, что такое время; если бы я захотел объяснить спрашивающему — нет, не знаю» («Исповедь»).

Мало кто считает, что расстояние загадочно, но то, что время загадочно, знают все. И вся загадочность времени проистекает из его основного логического свойства, а именно, что настоящий момент, который мы называем «сейчас», не стационарен, а постоянно движется в направлении будущего. Это движение называется течением времени.

Мы увидим, что течения времени не существует. Тем не менее такое представление совершенно обыденно. Мы принимаем это как должное настолько, что это принимается в самой структуре нашего языка. В «Полной грамматике английского языка» (A Comprehensive Grammar of the English Language) Рэндольф Квирк и его соавторы объясняют концепцию времени с помощью диаграммы, показанной на рис. 11.1. Каждая точка на линии представляет конкретный стационарный момент. Треугольник «▽» показывает, где на линии расположена «непрерывно движущаяся точка, настоящий момент». Считается, что она движется слева направо. Некоторые люди, как Шекспир в процитированном выше сонете, считают определённые события «фиксированными», а саму линию — движущейся мимо них (справа налево на рис. 11.1), так что моменты из будущего проносятся мимо настоящего момента, чтобы стать прошлыми моментами.

Что мы подразумеваем под высказыванием «время можно считать линией»? Мы подразумеваем, что точно так же, как линию можно считать последовательностью точек в различных положениях, так и любой движущийся или изменяющийся объект можно считать последовательностью неподвижных «снимков» самого себя, по одному варианту в каждый момент. Сказать, что каждая точка линии представляет конкретный момент, всё равно что сказать, что можно представить все снимки собранными вдоль линии, как на рис. 11.2. Некоторые из них показывают вращающуюся стрелку, какой она была в прошлом, другие показывают, какой она будет в будущем, а один из них — тот, на который сейчас показывает движущийся треугольник — показывает стрелку такой, какая она сейчас, хотя через мгновение этот конкретный вариант стрелки будет в прошлом, потому что «▽» передвинется. Совокупность мгновенных вариантов объекта является движущимся объектом в том же смысле, в каком последовательность неподвижных картинок, спроецированных на экран, в совокупности является фильмом (движущейся картинкой). Ни одна из них в отдельности не изменяется. Изменения состоят в том, что на них последовательно указывает («освещает») движущийся «▽» («кинопроектор»), так что друг за другом, по очереди они оказываются в настоящем.

Современные грамматисты стараются не давать субъективных оценок относительно использования языка; они стараются только записывать, анализировать и понимать его. Следовательно, Квирка с соавторами никак нельзя осудить за качество теории времени, описываемой ими. Они не претендуют на то, что это хорошая теория. Они претендуют только на то, и по-моему, довольно правильно, что это наша теория. К сожалению, эта теория не хороша. Скажем прямо, причина того, что теория времени изначально загадочна, состоит в том, что она изначально бессмысленна. Дело не совсем в том, что она фактически неточна. Мы увидим, что она не имеет смысла даже в своих собственных положениях.

Возможно, вас это удивит. Мы привыкли видоизменять свой здравый смысл, чтобы приспособиться к научным открытиям. Здравый смысл часто оказывается ложным, даже крайне ложным. Но для здравого смысла необычно быть бессмысленным в том, что касается повседневного опыта. Тем не менее именно это и происходит в данном случае.