Книга Дедекинда была очень хороша для тренировки базовых навыков, но общие вопросы определения терминов в ней опущены. Она всего лишь сместила фокус с действительных чисел на рациональные. Но откуда нам знать, что рациональные числа существуют? Если мы предположим, что существуют целые числа, это просто: определим рациональное число p/q как пару целых чисел (p, q) и составим формулы для сумм и произведений. Если целые числа существуют, то существуют и их пары.

Но откуда нам знать, что существуют целые числа? Кроме знаков + и –, целые числа – обычные натуральные числа (включая 0)[7]. А учесть знаки не составит труда. Иными словами, целые числа существуют, если существуют натуральные.

Но мы так и не пришли к концу. Мы так хорошо знакомы с натуральными числами, что нам и не приходит в голову поинтересоваться, существуют ли на самом деле знакомые нам 0, 1, 2, 3 и т. д.? И если да, то что это такое?

В 1889 г. Джузеппе Пеано обошел вопрос существования, воспользовавшись подходом Евклида. В своей книге Евклид вместо спора о существовании точек, линий, треугольников и прочих фигур привел список аксиом – описание свойств, очевидных без сомнений. Ему было не важно, существуют ли точки и прочие элементы. Вот гораздо более интересный вопрос: если они существуют, какие свойства вытекают из этого? Итак, Пеано составил свой список аксиом для натуральных чисел. Вот основные из них.

• Число 0 существует.

• Каждое число n имеет следующее за ним s(n), которое мы принимаем как n + 1.

• Если P(n) – свойство, такое, что P(0) верно, и каждый раз, когда P(n) верно, то и P(s(n)) тоже верно, тогда P(n) верно для любого n (принцип математической индукции).

Затем он определил числа 1, 2 и т. д. с точки зрения этих аксиом, в частности получив:

1 = s(0),

2 = s(s(0))

и т. д. И еще он определил базовые арифметические действия и доказал, что они подчиняются обычным законам. В его системе 2 + 2 = 4 – доказуемая теорема, которая констатирует, что s(s(0)) + s(s(0)) = s(s(s(s(0)))).

Огромное преимущество такого аксиоматичного подхода в том, что он точно определяет то, что мы должны доказать, если хотим как-то показать, что натуральные числа существуют. Нам лишь надо сконструировать некую систему, удовлетворяющую всем аксиомам Пеано.

Здесь более глубоким вопросом становится значение самого существования для математики. В реальном мире существующим считается объект, который мы можем наблюдать или, если это не удается, сделать вывод о его существовании благодаря тому, что мы можем наблюдать. Например, мы знаем о существовании силы притяжения, поскольку можем наблюдать ее эффекты, хотя и не ее саму.

В реальном мире мы можем обоснованно заявлять о существовании двух кошек, двух велосипедов или двух ломтей хлеба. Но с числом два всё не так просто. Это не предмет, а идея. В реальном мире мы никогда не встретим число два. Ближе всего к этому можно считать символ «2», написанный, или напечатанный на бумаге, или высветившийся на экране компьютера. Но никто не думает, что символ – то же, что представляемый им предмет. Слово «кот», написанное черным по белому, не кот. Точно так же символ «2» не число два.

Значение слова «число» оказалось неожиданно трудной концептуальной и философской проблемой. Положение усугубляется тем, что все мы превосходно разбираемся в том, как использовать числа. Мы знаем, как они себя ведут, но не знаем, что они собой представляют.

В 1880-х гг. Готлоб Фреге попытался решить эту концептуальную проблему, конструируя натуральные числа из еще более простых объектов – множеств, или, как он сам назвал их, классов. Его отправной точкой была стандартная ассоциация чисел со счетом. Согласно Фреге, два является свойством этих множеств, и только их, и его можно взаимно однозначно сопоставить со стандартным множеством {a, b} с несовпадающими элементами a и b. Тогда:

могут соответствовать {a, b}, а значит, все они определены – что бы это ни значило – одинаковым числом.

К несчастью, использование списка стандартных множеств в качестве чисел, скорее всего, породит вопросы: слишком легко спутать символ с тем, что он представляет. Но как еще описать свойство этих множеств, которое можно взаимно однозначно сопоставить со стандартным множеством? Что есть это свойство? Фреге посетила превосходная идея. Есть четко определенное множество, связанное с любым свойством, буквально состоящее из всего обладающего этим свойством. Свойство «простой» ассоциируется со множеством всех простых чисел; свойство «равнобедренный» – со множеством всех равнобедренных треугольников и т. д.

Фреге предположил, что число два есть множество, включающее в себя все множества, которые можно взаимно однозначно сопоставить со стандартным множеством {a, b}. В более общем виде число является множеством всех множеств, которые можно сопоставить с любым заданным множеством. Так, например, число три – множество: {… {a, b, c}, {один кот, другой кот, еще один кот}, {X, Y, Z}, …}, хотя, пожалуй, лучше использовать математические объекты вместо котов или букв.

Исходя из этого Фреге открыл, что может подвести под всю арифметику целых чисел логическую основу. Вся она упрощается до явных свойств множеств. Всё это он изложил в своем труде «Основы арифметики: логически-математическое исследование о понятии числа» в 1884 г. Но, к его великому разочарованию, Георг Кантор, ведущий специалист в области математической логики, отмел эту книгу как бесполезную. В 1893 г. Фреге, не утративший решимости, опубликовал первый том другой книги, «Основные законы арифметики», в которой представил интуитивно правдоподобную систему аксиом арифметики. Пеано просмотрел ее, а все остальные проигнорировали. Через десять лет Фреге наконец-то подготовил к печати второй том, но к тому моменту сам успел обнаружить большой недостаток в своих аксиомах. Другие тоже заметили его недочеты. Том еще не вышел из-под пресса, а уже разразился скандал. Фреге получил письмо от известного философа и математика Бертрана Рассела. Говорилось там примерно следующее: «Дорогой Готлоб, представьте себе множество всех множеств, которые не являются элементом самих себя. Искренне Ваш, Бертран».