В 1858 г., читая лекции по исчислению, Дедекинд задался вопросом о самой основе своей темы. Его интересовал не вопрос использования пределов, а сама система действительных чисел. Он опубликовал свои идеи в 1872 г. в труде «Непрерывность и иррациональные числа», указав, что вроде бы явные качества действительных чисел никогда не были доказаны сколько-нибудь строгим образом. В пример он привел уравнение √2√3 = √6. Явно оно вытекает из возведения в квадрат обеих сторон равенства. Вот только умножение для иррациональных чисел никогда не было определено. В 1888 г. в своей книге «Что такое числа и для чего они служат?» ученый отметил ряд серьезных пробелов в логическом обосновании системы действительных чисел. Собственно говоря, никто даже не доказал, что такие числа существуют.

Он также предложил свой способ заполнить пробелы, прибегнув к приему, известному нам как дедекиндовы сечения. Нужно было начать с признанной системы чисел, рациональных, и распространить ее, чтобы получить более широкую систему действительных чисел. Он сперва определил свойства, отличающие действительные числа, нашел способ описать их в ключе рациональных чисел и затем совершил обратную процедуру, интерпретируя эти особенности рациональных чисел как определения для действительных. Этот прием обратного конструирования новых концепций из старых с тех пор применяется часто.

Предположим на миг, что действительные числа существуют. Имеют ли они отношение к рациональным? Некоторые действительные числа – не рациональные, очевидный пример – √2. Теперь, хотя оно и не дробь, его можно приблизить сколь угодно близко к рациональному числу. Оно занимает особое место где-то в плотном ряду всех возможных рациональных чисел. Но как мы определим его положение?

Дедекинд понимал, что √2 четко разделяет последовательность рациональных чисел на две части: те, что меньше его, и те, что больше. Отчасти это разделение – или сечение – определяет √2 в рамках рациональных чисел. Единственная загвоздка в том, что мы прибегаем к √2 с целью определить две части разреза. Но есть способ это преодолеть. Рациональные числа больше √2 определенно положительные, и их квадрат больше 2. Рациональные числе меньше √2 – все остальные. Эти два множества рациональных чисел теперь определены без явного использования √2, но точно указывают его положение на прямой действительных чисел.

Дедекинд показал: если предположить, что действительные числа существуют, то сечение, удовлетворяющее этим двум частям, может быть связано с любым действительным числом в последовательности R из всех рациональных чисел, больших этого числа, и последовательности L из всех рациональных чисел, меньше этого числа или равных ему. (Последнее условие необходимо для связи сечения с любым рациональным числом. Мы ведь не хотим от них отказываться.) Здесь L и R могут восприниматься как левая и правая части на привычном изображении прямой действительных чисел.

Два множества, L и R, подчиняются нескольким довольно строгим условиям. Во-первых, каждое рациональное число принадлежит только одному из них. Во-вторых, каждое число во множестве R больше, чем любое число во множестве L. Наконец, существует техническое ограничение, связанное с рациональными числами как таковыми: L может иметь или не иметь самое большое число, а R никогда не имеет самого малого. Назовем любую пару подмножеств рациональных чисел с такими свойствами сечением.

В обратном конструировании не нужно предполагать существование действительных чисел. Вместо этого мы можем использовать сечения для определения действительных чисел, так что фактически такое число является сечением. Обычно мы не рассматриваем действительные числа именно так, но Дедекинд понял, что при желании это возможно. Главная задача – определить, как складывать и умножать сечения, чтобы действовала арифметика действительных чисел. Оказалось, это просто. Чтобы сложить два сечения (L1, R1) и (L2, R2), положим, что L1 + L2 будет множеством всех чисел, получаемым добавлением чисел из L1 к числам из L2, и так же определим R1 + R2. Тогда суммой двух сечений будет сечение (L1 + L2, R1 + R2). Умножение выполняется так же, хотя здесь есть небольшое различие между положительными и отрицательными числами.

Наконец, нам надо убедиться, что арифметика сечений обладает всеми свойствами, ожидаемыми от действительных чисел. К ним относятся стандартные законы алгебры, которые аналогичны свойствам рациональных чисел. Главное свойство, отличающее действительные числа от рациональных, заключается в том, что предел бесконечной последовательности сечений существует (при применении определенной техники). Также существует сечение, соответствующее любому бесконечному расширению десятичных дробей. Это тоже несложно.

Исходя из того, что всё перечисленное возможно, посмотрим, как Дедекинд смог доказать, что √2√3 = √6. Мы уже видели, что √2 соотносится с сечением (L1, R1), где R1 состоит из всех положительных рациональных чисел с квадратами больше 2. А √3 соотносится с сечением (L2, R2), где R2 состоит из всех положительных рациональных чисел с квадратами больше 3. Легко доказать, что произведением этих сечений будет (L3, R3), где R3 состоит из всех положительных рациональных чисел, квадраты которых больше 6. Но это и есть сечение, которое соответствует √6. Готово!

Красота подхода Дедекинда в том, что он упрощает все вопросы, относящиеся к действительным числам, до соответствующих вопросов рациональных чисел, точнее, пары множеств рациональных чисел. Так мы получаем определение для действительных чисел только в рамках рациональных чисел и операций, относящихся к ним. К тому же действительные числа существуют (в математическом смысле), если существуют рациональные.

А вот небольшая плата за эту простоту: теперь действительное число определяется как пара множеств рациональных чисел – не совсем привычное для нас описание. Если это звучит слишком странно, вспомните, что обычное представление действительного числа – десятичная дробь, состоящая из бесконечной последовательности цифр от 0 до 9.

Концептуально это как минимум так же сложно, как сечение Дедекинда. И правда, непросто представить сумму или произведение двух бесконечных десятичных дробей, ведь обычные арифметические методы сложения или умножения десятичных дробей начинаются с их правого конца. А когда десятичная дробь бесконечна, она не имеет правого конца.