Принцип, по которому распределялись числа, неясен, но это и не важно, так как данный метод работает вне зависимости от того, какое правило принято за основу. Обратим внимание на цифры после запятой.

Теперь рассмотрим диагональ, которая стремится от левого верхнего угла к правому нижнему. Она настолько важна в этом доказательстве, что само доказательство получило название диагонального метода.

Число, которое мы ищем (то, которому не найдется пары), начинается с 0,... а цифры после запятой будут зависеть от чисел, отмеченных по диагонали. Чтобы получить первую цифру после запятой, возьмем первую цифру диагонали и прибавим 1 (если это цифра 9, то запишем только 0). В нашем случае это цифра 3, поэтому число начнется с 0,4... Чтобы получить следующую цифру, прибавим 1 ко второму числу диагонали (опять же если это 9, мы запишем 0). Для третьей цифры числа возьмем третье число диагонали и так далее. В нашем примере мы получим 0,41162...

Число, которое мы только что высчитали, не соотнесено ни с каким натуральным, мы пропустили его при раздаче пар. Как мы можем быть в этом уверены? Дело в том, что найденное число не может быть тем, которое соотносится с 0, потому что они различаются первой цифрой после запятой; не может быть тем, которое соотносится с 1, потому что у них разные вторые цифры после запятой; не может быть тем, которое соотносится с 2, потому что у них разные третьи цифры после запятой, и так далее до бесконечности.

Поскольку для одного числа не нашлось соответствия, наш пример взаимно однозначного соответствия между множествами натуральных и вещественных чисел является неправильным. Любая другая попытка закончится неудачей по этой же причине, следовательно, между рассматриваемыми множествами нет взаимно однозначного соответствия.

Если немного изменить этот ход рассуждений, можно доказать, что множество чисел, содержащихся в любом, даже самом маленьком отрезке числовой оси, не эквивалентно множеству натуральных чисел. Множество вещественных чисел (или чисел одного отрезка оси) нельзя представить в виде последовательности, как в 1874 году заявил Кантор. Надо заметить, что доказательство, приведенное Кантором, было не совсем таким. Диагональный метод был описан лишь в 1892 году в статье Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre («Об одном элементарном вопросе учения о многообразиях»).

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

В статье 1874 года Кантор не говорил ни о целых, ни о рациональных числах. Он доказал, что вещественные числа не могут быть представлены как последовательность, и рассмотрел еще одно множество — множество алгебраических чисел.

Обратимся к древней и очень известной задаче о квадратуре круга, впервые сформулированной древнегреческими геометрами в V веке до н.э. Она состоит в том, чтобы при помощи линейки без делений и циркуля построить квадрат с той же площадью, как у заданной окружности.

Линейка в те времена была обычным прямоугольником для рисования отрезков, на ней не было никаких делений. Ограничительные условия этой задачи свойственны всей древнегреческой геометрии, и происходили они от элитарного представления о науке: измерениями занимались «низшие классы» — купцы и ремесленники, — а геометры и философы работали с идеальными фигурами и понятиями, не опускаясь до «второстепенного» и используя инструменты, годные для создания «чистых» фигур (прямых и окружностей) без их измерения.

В течение веков было сделано множество попыток получить квадратуру круга, но ни одна из них не увенчалась успехом. Никто не был в состоянии найти решение этой задачи; с другой стороны, не было доказано, что решение невозможно.

Если r — это радиус окружности, то ее площадь рассчитывается как πr2. Пусть вас не удивляет, что число π связано с этой задачей. Действительно, мы можем доказать, что задача вычислить квадратуру круга эквивалентна другой: взяв за единицу измерения любой отрезок, построить при помощи линейки без делений другой отрезок, длина которого равнялась бы π раз этой единице. Другими словами, построить отрезок длины π.

То, что эти задачи эквивалентны, означает: если допустимо построить отрезок длины π, то можно построить и квадратуру круга, и наоборот. Если же одно из этих построений неосуществимо, то неосуществимо и другое. Первый важный шаг в решении этой задачи был сделан в XVIII веке, когда доказали, что для того чтобы построить отрезок с помощью линейки и циркуля, его длина должна соответствовать алгебраическому числу. Точное определение алгебраического числа слишком сложное, достаточно сказать, что таким называется число, являющееся решением уравнения определенного типа (такого, в котором задействованы целые числа). К тому же не все алгебраические числа могут быть найдены с помощью циркуля и линейки, а только отвечающие определенным требованиям.

Числа, не являющиеся алгебраическими, получили название «трансцендентных». В начале XIX века этот термин считался сугубо теоретическим, поскольку хотя и было известно, что все рациональные числа являются алгебраическими (как и некоторые иррациональные, например √2), существование трансцендентных чисел еще не стало фактом. В частности, предстояло установить, является π алгебраическим или трансцендентным числом.

Первое трансцендентное число нашел французский математик Жозеф Лиувилль (1809-1882) в 1844 году. Сейчас его называют постоянной Лиувилля. Оно начинается с 0,11000100 0000000000000001000... (первая 1 стоит на первом месте после запятой, вторая на месте 1-2 = 2, третья на месте 1 · 2 · 3 = 6 и так далее). Лиувилль обнаружил также еще несколько трансцендентных чисел, похожих на это. В 1873 году другой математик, Шарль Эрмит (1822-1901), открыл, что трансцендентным является число е (основание натуральных логарифмов).

В статье 1874 года Кантор тоже внес большой вклад в эту область, косвенно доказав, что любой отрезок числовой оси содержит бесконечное количество трансцендентных чисел.

Каким образом? Усовершенствовав метод, позволяющий показать, что рациональные числа могут организоваться в последовательность, Кантор доказал, что и множество алгебраических чисел, содержащихся в любом отрезке числовой оси, может быть представлено в виде последовательности. Вещественные числа, расположенные на том же самом отрезке, напротив, последовательностью быть не могут. Это означает, что два этих множества не могут быть одинаковыми, так как одно обладает свойством, отсутствующим у другого. Следовательно, на произвольном отрезке числовой оси все числа не могут быть алгебраическими, но не могут не быть трансцендентными. Таким образом, на каждом отрезке числовой оси есть трансцендентные числа, а на всей прямой — бесконечное количество трансцендентных чисел. Доказательство было непрямым, поэтому отметим: из рассуждений Кантора следует, что существует бесконечное количество трансцендентных чисел, хотя ученый и не привел ни одного конкретного примера.