6.3.1.2. Ценовая оптимизация для продуктовых линеек

Мы рассматриваем случай монополии и исходим из того, что перекрестная функция «цена-отклик» для множественных продуктов имеет следующий вид:

где qi – это объем продаж продукта i. Переменные p1….,pn – это цены на n продуктов в линейке. Поскольку наш случай статический, можно исключить коэффициент времени.

Для функции (6.2) прямые ценовые эластичности выглядят так:

Перекрестная эластичность εij обозначает процентное изменение продаж продукта i, где цена продукта варьируется на 1 %.

Целевая функция – это максимизация итоговой прибыли продуктовой линейки:

Ci(qi) представляет собой, как правило, функцию издержек для продукта i; мы исходим из отсутствия взаимозависимости значений затрат. После взятия частичной производной функции прибыли для всех цен и определенной переформулировки получаем условие оптимальной цены продукта j[9]:

Это так называемая формула Ниханса [40].

В первом слагаемом формулы (6.4) мы узнаем знакомую формулу Аморозо – Робинсона (5.2), которая определяет изолированную оптимальную цену, то есть цену без учета взаимозависимостей с другими продуктами. Перекрестная оптимальная цена продуктов – это сумма изолированной оптимальной цены и поправочного члена, который равен значению взаимозависимостей в продуктовой линейке. Этот поправочный член включает эластичности, объемы продаж и удельные контрибуционные маржи. Если рассматривать выражение (6.4) для всех n продуктов одновременно, каждая цена зависит от всех эластичностей и всех маржинальных затрат всей продуктовой линейки. Невозможно сделать общий вывод относительно эффектов перекрестных взаимозависимостей продуктов для оптимальной цены, поскольку все цены зависят друг от друга. Чтобы прийти к интерпретируемым заключениям, нужно вывести исходные предпосылки при прочих равных. Нужно исходить из того, что в правой части выражения (6.4) одновременно меняется только одна переменная. Помимо необходимого условия (6.4), нужно определить условие достаточное. Это выполняется, когда прямые коэффициенты ценового эффекта для всех продуктов больше, чем непрямые коэффициенты [41, 42].

Когда продуктовая линейка включает в себя только заместительные продукты, все перекрестные ценовые эластичности εij положительные. В этом случае, и если εi < –1, член суммирования в выражении (6.4) отрицательный. Следовательно, оптимальная перекрестная цена продуктов pi* при прочих равных выше, чем изолированная оптимальная цена, согласно формуле Аморозо – Робинсона. Относительно изолированной оптимальной цены оптимальная перекрестная цена продуктов pj* тем выше, чем:

• больше количество продуктов;

• больше перекрестные ценовые эластичности εij;

• больше удельные контрибуционные маржи других продуктов;

• прямая ценовая эластичность εi ближе к –1;

• больше соотношение объемов продаж i и j.

Если взаимоотношения чисто заместительные, ценообразование для продуктовой линейки дает более высокие цены, чем для продуктов по отдельности.

Если отношения исключительно взаимодополняющие, все перекрестные ценовые эластичности εij отрицательные, и если εi < –1, член суммирования в выражении (6.4) положительный. Таким образом, он вычитается из слагаемого формулы Аморозо – Робинсона. Тогда из этого следует, что оптимальная перекрестная цена продукта pj* тем ниже, чем:

• больше продуктов в продуктовой линейке;

• больше перекрестные ценовые эластичности εij (в абсолютном выражении);

• больше удельные контрибуционные маржи других продуктов;

• прямая ценовая эластичность εi ближе к –1;

• больше соотношение объемов продаж i и j.

Типичный случай ценообразования для продуктовой линейки взаимодополняющих продуктов – это специальные предложения или скидки в розничной торговле. Ритейлер хочет применить низкую и даже отрицательную удельную контрибуционную маржу к продукту по специальной акции, надеясь привлечь клиентов, которые также будут покупать более прибыльные товары по высоким ценам. Из формулы (6.4) можно видеть, что оптимальная цена может быть ниже маржинальных затрат на соответствующий продукт, имея даже отрицательное значение (см. главу 14). С точки зрения бизнеса запрет компании с большим ассортиментом взаимосвязанных продуктов продавать некоторые из них ниже уровня маржинальных затрат необоснован.

Условие (6.4) также объясняет, почему оптимальная цена на один и тот же продукт может различаться у разных компаний даже при одинаковых издержках. Тогда понятно, почему АЗС при супермаркетах продают бензин по ценам ниже, чем отдельно стоящие.

Если в рамках продуктовой линейки существуют одновременно заместительные и взаимодополняющие отношения, нельзя однозначно определить знак члена суммирования в формуле (6.4). В подобных случаях сила заместительных и взаимодополняющих эффектов будет определяться тем, насколько оптимальная перекрестная цена продуктов выше или ниже изолированной оптимальной цены. Мы продемонстрируем этот вывод на двух отдельных примерах заместительных и взаимодополняющих отношений.

Таблица 6.11. Параметры для примера заместительных взаимоотношений

Пример заместительных взаимоотношений

Мы исходим из линейных функций «цена-отклик» и затрат с параметрами, показанными в табл. 6.11. За исключением параметра перекрестного ценового эффекта bij, параметры обоих продуктов идентичны. Чтобы вывести оптимальные перекрестные цены продуктов, используем выражение (6.4) и получим p*1= $18,16 и p*2 = $17,61. Достаточные условия глобальной максимальной прибыли выполняются, потому что все параметры прямых ценовых эффектов больше непрямых.

Результат обоснован на рис. 6.13. Здесь показана ситуация πj прибыли при различных сочетаниях p1 и p2 с использованием изопрофитных кривых. Кривые, представляющие равную прибыль по каждому индивидуальному продукту (π1 и π2), показаны пунктирными линиями, а общая прибыль π обозначена сплошной линией. Стрелки показывают направление роста прибыли. Повышение цены p1 при прочих равных обеспечит прирост дохода и прибыли для продукта 2 (при отсутствии изменения цены и положительной удельной контрибуционной маржи), поскольку на него придется больший спрос. Компанию интересует не прибыль по отдельному продукту, но общая прибыль π. На рис. 6.13 точка максимальной общей прибыли отмечена звездочкой. Оптимальные перекрестные цены равны p1* = $18,16 и p2* = $17,61.