и распространяющего инфекцию населения. Модель не предполагает медицинского вмешательства; эпидемия заканчивается сама по себе, даже если к тому моменту в популяции остаются восприимчивые к инфекции и не переболевшие. Источник: расчеты автора.

Первое и третье уравнения очень просты. Первое уравнение говорит о том, что число восприимчивых к инфекции сокращается с каждым новым случаем заражения, поскольку восприимчивые становятся инфицированными. Суть третьего уравнения состоит в том, что число выздоровевших увеличивается с каждым новым выздоровлением, поскольку выздоравливая (или, как в нашем случае, забывая нарратив) человек превращается из инфицированного в выздоровевшего. Далее мы увидим, что эта простейшая модель, дающая базовое представление о путях распространения эпидемий, может быть преобразована с учетом увеличения численности популяции и иных факторов, характерных для конкретного эпидемического процесса.

Пример, который иллюстрирует рис. А.1, вытекает из трех упомянутых выше уравнений, где воздействию инфекции изначально подвергается один человек из миллиона (I0 = 0,0001 %), а показатели c = 0,5 и r = 0,05. В этом случае инфицированной в конечном счете будет практически вся популяция. В ходе эпидемии внимание общественности, как правило, приковано к изменению количества зараженных, которое на рисунке отражает колоколообразная кривая. Кроме того, людей интересует изменение таких показателей, как количество новых зарегистрированных случаев болезни и скорость перехода из группы восприимчивых в группу инфицированных, которые также отражает колоколообразная кривая в том случае, если показатель r ненамного ниже показателя c. Работая с нарративами, мы сравниваем графики, отражающие количество слов и публикаций, с кривой заражения, подобной той, что изображена на рисунке.

Модель SIR предполагает, что от эпидемии к эпидемии небольшое количество случаев заражения на начальном этапе возрастает в соответствии с той же изогнутой графической структурой, а затем идет на спад. Мутация возникшего давно и утратившего свою силу вируса может привести к появлению человека, зараженного новым штаммом. Затем последует некоторая задержка – а если показатель c невысок, она может быть достаточно продолжительной – и продлится она до тех пор, пока не заразится достаточно большое количество людей и болезнь не привлечет к себе внимание масс. Затем эпидемия достигнет своего пика. Прежде чем заразится все население, эпидемия пойдет на спад и завершится, причем показатели интенсивности заражения c и выздоровления r останутся неизменными.

Заразится не каждый. Некоторых людей болезнь не коснется, поскольку они не столкнутся с ее возбудителем. Постепенно окружающая среда будет становиться все более безопасной для таких людей, поскольку количество инфицированных будет сокращаться вследствие выздоровления и приобретения людьми иммунитета к болезни. Новых встреч с возбудителем болезни, провоцирующих новые случаи инфицирования, станет недостаточно для дальнейшего роста заболеваемости. В конце концов инфицированных почти не останется, и популяция будет практически полностью состоять из восприимчивых и выздоровевших. Эта модель применима и к нарративам: поскольку заражается не каждый, после завершения эпидемии экономического нарратива некоторые люди скажут, что даже не слышали о нем, и скептически отнесутся к рассказам о его влиянии на экономику, пусть даже этот нарратив действительно способен определять ход экономических событий.

Какие факторы в комплексе приводят к распространению серьезного заболевания, которое в результате охватывает широкие общественные массы (ту часть населения, которая инфицируется и выздоравливает)? Насколько широко распространится заболевание – определяет соотношение показателей с и r. Поскольку время стремится к бесконечности, доля людей, когда-либо перенесших конкретную болезнь, достигает предельного значения R∞ (называемого «масштабом эпидемии»), которое всегда строго меньше 1. Непосредственно из первого и третьего уравнений следует, что dS/dR = – (c/r)S. Принимая во внимание исходное условие относительно доли популяции, заразившейся на раннем этапе I0, заключающееся в том, что S = (1 – I0)e—(c/r)R, и поскольку I∞ = 0,1 = S∞ + R∞, мы получаем: c/r = R∞–1log(1 – I0 / 1 – R∞) – и обнаруживаем взаимосвязь между окончательным числом людей, когда-либо перенесших это заболевание, и соотношением показателей с и r. Если бы мы могли выбирать, какими будут показатели c и r, мы могли бы сделать масштаб эпидемии R∞ любым, вплоть от отметки I0 до 100 %. Если «масштаб распространения заразы» мы определим как R∞ > 1/2, тогда заражение стартует на отметке I0 близкой к нулю, тогда как c/r > 1,386. Если мы умножим оба показателя c и r на положительную константу a, трем уравнениям, речь о которых шла ранее, будут удовлетворять функции S(at), I(at), R(at).

Высокий показатель c/r соответствует эпидемии большого масштаба R∞, вне зависимости от того, каковы показатели с и r, в то время как высокий показатель с, при котором соотношение с и r остается неизменным, приводит к более стремительному развитию эпидемии. Для того чтобы на начальном этапе эпидемии уровень заражения был очень низким, когда значение S близко к 1, показатель с/r должен быть больше 1. В зависимости от показателей с и r эпидемии могут нарастать стремительно либо, наоборот, медленно, хотя если изменить масштаб графиков таких эпидемий, выглядят они одинаково.

Изменив соотношение c и r, мы можем получить эпидемии, в ходе которых 95 % населения заражается за несколько дней, или те же 95 % населения, но за несколько десятилетий, или лишь 5 % населения за несколько дней, или же 5 % населения за несколько десятилетий. Однако в каждом случае мы получим дугообразный график заражения, который при изменении масштаба будет выглядеть примерно так же, как и жирная линия на рис. А.1.

Модификации модели SIR

Модель SIR Кермака – Маккендрика стала отправной точкой в истории математического моделирования эпидемий и на протяжении большей части столетия была объектом многочисленных публикаций. В числе различных модификаций базовой камерной модели существует версия, учитывающая вероятность постепенного ослабления иммунной защиты, вследствие чего выздоровевшие вновь постепенно превращаются в восприимчивых (модель SIRS) (4). Модель SIR также может быть преобразована с учетом вероятности встреч восприимчивых с инфицированными, вследствие чего возрастет численность четвертой категории – контактных E, которые заболеют позднее (модель SEIR). Кроме того, модель была модифицирована с учетом таких факторов, как неполный иммунитет, получаемый в результате лечения, рождение новых восприимчивых, появление суперраспространителей, обладающих свойством повышенной заразности, а также географических закономерностей распространения инфекции.

Эти модели, модифицированные в соответствии с особенностями изучаемого заболевания, были полезны при прогнозировании течения эпидемий. Например, модифицированная версия SEIR была создана в попытке объяснить ход географического распространения вируса гриппа с учетом предположения о том, что его латентные носители, не имеющие каких-либо симптомов болезни, могут перемещаться на большие расстояния. Рассмотрев в рамках этой модели данные о заболеваемости гриппом и данные о масштабах междугородних авиаперевозок, Р. Ф. Грэйс и ее соавторы обнаружили, что их модель помогает объяснить закономерности вспышек гриппа в отдельных городах, а также распространения его между городами (5).

Примером другой камерной модели является стохастическое обобщение, которое выражает модель SEIHFR,